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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

celui de $\mathrm {D} y^{2}$ sera :

${\xi '}_{y}^{2}+{\eta '}_{y}^{2}+{\zeta '}_{y}^{2}\,;$

et celui de $\mathrm {D} z^{2}\,:$

${\xi '}_{z}^{2}+{\eta '}_{z}^{2}+{\zeta '}_{z}^{2}.$

La somme de ces trois coefficients sera donc une fonction isotrope. Nous la désignerons par $\mathrm {H} \,;$ ce sera la somme des carrés des neuf dérivées partielles

(24)

$\mathrm {H} =\sum {\xi '}_{x}^{2}$.

20. Pour trouver d’autres fonctions isotropes, considérons le cas où les molécules $\mu$ et $\mu '$ se déplacent de façon que la droite $\mu \mu '$ reste toujours parallèle à elle-même : les droites $\mathrm {OP}$ et $\mathrm {OM}$ sont parallèles, et, en désignant par $\alpha$ le rapport de leurs longueurs, on a :

$\mathrm {D} \xi =\alpha \,\mathrm {D} x,\qquad \mathrm {D} \eta =\alpha \,\mathrm {D} y,\qquad \mathrm {D} \zeta =\alpha \,\mathrm {D} z.$

Si on porte ces valeurs dans les équations (21) du n^o 14, on obtient :

${\begin{aligned}\alpha \,\mathrm {D} x&=\xi '_{x}\,\mathrm {D} x+\xi '_{y}\,\mathrm {D} y+\xi '_{z}\,\mathrm {D} z,\\[1.5ex]\alpha \,\mathrm {D} y&=\eta '_{x}\,\mathrm {D} x+\eta '_{y}\,\mathrm {D} y+\eta '_{z}\,\mathrm {D} z,\\[1.5ex]\alpha \,\mathrm {D} z&=\zeta '_{x}\,\mathrm {D} x+\zeta '_{y}\,\mathrm {D} y+\zeta '_{z}\,\mathrm {D} z,\\\end{aligned}}$

et l’élimination de $\mathrm {D} x,$ $\mathrm {D} y,$ $\mathrm {D} z$ entre ces équations conduit au déterminant :

${\begin{vmatrix}\xi '_{x}-\alpha &\xi '_{y}&\xi '_{z}\\\eta '_{x}&\eta '_{y}-\alpha &\eta '_{z}\\\zeta '_{x}&\zeta '_{y}&\zeta '_{z}-\alpha \end{vmatrix}}=0.$