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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

L’existence d’une fonction des forces entraîne le principe des forces vives. On est obligé d’ailleurs, pour identifier les équations (1) et (2), de supposer $\rho =1,$ c’est-à-dire de regarder la densité de l’éther comme constante, ce qui est précisément l’hypothèse de Neumann.

220. Principe de continuité. — En second lieu les équations du mouvement telles que nous venons de les écrire entraînent la continuité de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ qui constitue la seconde hypothèse de Neumann.

En effet, supposons qu’on cherche à satisfaire aux équations du mouvement en faisant comme nous l’avons fait plusieurs fois dans la théorie de la réflexion vitreuse,

${\begin{aligned}\mathrm {X} &=\mathrm {X} _{1}e^{i(\alpha x+\beta t)},&{\xi }&={\xi }_{1}e^{i(\alpha x+\beta t)},&{u}&=\,{u}_{1}e^{i(\alpha x+\beta t)},\\[1.5ex]\mathrm {Y} &=\mathrm {Y} _{1}e^{i(\alpha x+\beta t)},&{\eta }&={\eta }_{1}e^{i(\alpha x+\beta t)},&{v}&=\,{v}_{1}e^{i(\alpha x+\beta t)},\\[1.5ex]\mathrm {Z} &=\mathrm {Z} _{1}e^{i(\alpha x+\beta t)},&{\zeta }&={\zeta }_{1}e^{i(\alpha x+\beta t)},&{w}&={w}_{1}e^{i(\alpha x+\beta t)},\end{aligned}}$

$\mathrm {X_{1},\,Y_{1},\,Z_{1}} ,\,\xi _{1},\,\eta _{1},\,\zeta _{1},\,u_{1},\,v_{1},\,w_{1}$ étant des fonctions de $z$ seulement.

Les équations du mouvement donneront :

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {Y} }{dz}}&=-\xi ,\quad &{\frac {d\mathrm {X} }{dz}}&=\eta +i\alpha \mathrm {Z} ,\\[1.5ex]{\frac {d{\eta }}{dz}}&=-\mu ,\quad &{\frac {d{\xi }}{dz}}&=v+i\alpha \zeta ,\\[1.5ex]\zeta &=i\alpha \mathrm {Y} ,\quad &w&=i\alpha \eta .\\\end{aligned}}$

Ces équations montrent :

1^o Que les dérivées de $\xi ,\,\eta ,\,\mathrm {X,\,Y}$ sont finies et que ces quatre quantités sont par conséquent continues ;

2^o Que $\zeta$ et $w$ sont égaux à $\mathrm {Y}$ et à $\eta$ au facteur constant près