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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
de la dérivée de ce produit sera nulle. On a donc
![{\displaystyle \left[u\,{\frac {dv}{dz}}+v\,{\frac {du}{dz}}\right]_{0}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/596301c2ffe784c75f3dbbe992c9c234bc63e0f6)
ou
![{\displaystyle \left[u\,{\frac {dv}{dz}}\right]_{0}+\left[v\,{\frac {du}{dz}}\right]_{0}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d131cb0bba46d8a3748fc19073860bae38ad82)
puisque la valeur moyenne d’une somme est égale à la somme
des valeurs moyennes des parties qui la composent.
2o Si 
et 
sont deux fonctions périodiques de 
satisfaisant à
la fonction doit se réduire à une constante.
En effet, d’après la propriété précédente ou a
![{\displaystyle \left[\varphi {\frac {d}{dx}}\rho \,{\frac {d\varphi }{dx}}\right]_{0}=-\left[\rho \,{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\varphi }{dx}}\right]_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee8cdc1f2675904595b09caebe4c5d0727aefabb)
et par conséquent
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[\varphi \left({\frac {d}{dx}}\rho {\frac {d\varphi }{dx}}+{\frac {d}{dy}}\rho {\frac {d\varphi }{dy}}+{\frac {d}{dz}}\rho {\frac {d\varphi }{dz}}\right)\right]_{0}\\[1ex]&\qquad \qquad \qquad \qquad =-\left[\rho \left(\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}+\left({\frac {d\varphi }{dy}}\right)^{2}+\left({\frac {d\varphi }{dz}}\right)^{2}\right)\right]_{0}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb53f95a624c231fb40d164bb61285c9473295f8)
Mais par suite de notre hypothèse, le premier membre de cette
égalité est égal à et on a
![{\displaystyle \left[\rho \left(\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}+\left({\frac {d\varphi }{dy}}\right)^{2}+\left({\frac {d\varphi }{dz}}\right)^{2}\right)\right]_{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4910a44f73914df592b8f5ffd74d79ee3236628)
