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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

Or, la première des équations de condition trouvées dans le paragraphe précédent donne, quand on multiplie ses deux membres par $\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{\mathrm {P} },$

$\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{\mathrm {P} }\mathrm {A'V} ^{2}=\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}b\gamma \mathrm {B} e^{\mathrm {P} }-\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}c\beta \mathrm {C} e^{\mathrm {P} },$

et il est facile de voir, en calculant les dérivées partielles de $u,\,v,\,w$ par rapport à $x,\,y,\,z,$que cette équation peut s’écrire

$\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{\mathrm {P} }\mathrm {A'V} ^{2}=b\,{\frac {dv}{dz}}-c\,{\frac {dw}{dy}}\cdot$

Il résulte de ces transformations et des transformations analogues que l’on pourrait effectuer sur les seconds membres des équations (6) que ces équations se réduisent à

(7)

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=b\,{\frac {dv}{dz}}-c\,{\frac {dw}{dy}}\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=c\,{\frac {dw}{dx}}-a\,{\frac {du}{dz}}\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}&=a\,{\frac {du}{dy}}-b\,{\frac {dv}{dx}}\end{aligned}}$

Ces équations seront satisfaites pour les déplacements $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ des molécules d’une onde plane vibrant suivant les hypothèses de Neumann. C’est sous cette forme que les équations du mouvement de ces molécules ont été trouvées par Lamé.

Remarquons que, d’après les équations (5), $u,\,v,\,w$ sont les composantes du déplacement d’une molécule d’une onde plane dans la théorie de Fresnel quand $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ satisfaisant aux équations (7), sont les valeurs des composantes du déplacement