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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

et le carré de leur distance est alors :

$\mathrm {R} +\rho =\sum \left(\mathrm {D} x+\mathrm {D} \xi \right)^{2}=\sum \mathrm {D} x^{2}+2\sum \mathrm {D} x\,\mathrm {D} \xi +\sum \mathrm {D} \xi ^{2}.$

L’accroissement $\rho$ du carré de cette distance est donné par la relation :

$\rho =2\sum \mathrm {D} x\,\mathrm {D} \xi +\sum \mathrm {D} \xi ^{2},$

et, si nous posons :

(8)

$\rho _{1}=2\left(\mathrm {D} x\,\mathrm {D} \xi +\mathrm {D} y\,\mathrm {D} \eta +\mathrm {D} z\,\mathrm {D} \zeta \right)=2\sum \mathrm {D} x\,\mathrm {D} \xi ,$

(9)

$\rho _{2}=\mathrm {D} \xi ^{2}+\mathrm {D} \eta ^{2}+\mathrm {D} \zeta ^{2}=\sum \mathrm {D} \xi ^{2},$

nous aurons, pour $\rho$ :

(10)

$\rho =\rho _{1}+\rho _{2}.$

La fonction des forces relative aux forces intérieures (5) a pour valeur, quand les molécules sont écartées de leurs positions d’équilibre :

$\mathrm {U} '=\mathrm {F} (\mathrm {R} +\rho ,\;\mathrm {R} '+\rho ',\;\mathrm {R} ''+\rho '',\dots )\,;$

et, si on la développe par rapport aux puissances croissantes des $\rho$, on obtient :

$\mathrm {U} '=\mathrm {F} (\mathrm {R,R',R''} ,\dots )\!+\!\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\rho \!+\!{\frac {1}{2}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{d\mathrm {R} ^{2}}}\rho ^{2}\!+\!\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{d\mathrm {R} \,d\mathrm {R} '}}\rho \rho '\!+\!\cdots$