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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

La partie de la fonction $\mathrm {U}$ qui correspond aux forces intérieures est

$\int \delta \mathrm {W} \,d\tau ,$

et celle qui est relative aux forces extérieures qui s’exercent sur la surface de séparation $\mathrm {S}$ est

$\int \left(\mathrm {P} _{x}\delta \xi +\mathrm {P} _{y}\delta \eta +\mathrm {P} _{z}\delta \zeta \right)d\omega ,$

$\mathrm {P} _{x},\,\mathrm {P} _{y},\,\mathrm {P} _{z}$ désignant les composantes suivant les trois axes de la pression qui s’exerce sur l’élément de surface $d\omega .$ En remplaçant $\delta \mathrm {U}$ par la somme de ces deux quantités l’équation (2) devient

${\begin{aligned}\int \left(\mathrm {P} _{x}\delta \xi +\mathrm {P} _{y}\delta \eta +\mathrm {P} _{z}\delta \zeta \right)\,&d\omega +\int \delta \mathrm {W} \,d\tau \\-\int \rho \,d\tau &\left({\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}\delta \xi +{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}\delta \eta +{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}\delta \zeta \right)=0.\\\end{aligned}}$

Comme cette équation doit être satisfaite quels que soient $\delta \xi ,$ $\delta \eta ,$ $\delta \zeta$ nous pouvons, en particulier, supposer $\delta \eta =\delta \zeta =0,$ et nous avons l’égalité

(3)

$\int \mathrm {P} _{x}\,\delta \xi \,d\omega +\int \delta \mathrm {W} \,d\tau -\int {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}\,\delta \xi \,d\tau =0,$

qui devra avoir lieu quel que soit $\delta \xi .$

123. Il s’agit de transformer le second terme de cette égalité. La fonction $\mathrm {W}$ est, en général, une fonction des dérivées partielles des divers ordres de $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta .$ Dans un déplacement virtuel quelconque donné au système chacune de ces dérivées