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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

Si le quotient ${\frac {b}{a}}$ est commensurable, il existe une valeur de $\mathrm {K}$ qui annule $\sin {\frac {\mathrm {K} b\pi }{a}}\,;$ par conséquent, le maximum principal correspondant manquera. Ainsi, si ${\frac {b}{a}}={\frac {1}{2}},$ tous les maxima principaux d’ordre pair manqueront. Dans ce cas particulier, $\sin {\frac {\mathrm {K} b\pi }{a}}$ a pour valeur absolue l’unité quand $\mathrm {K}$ est un nombre impair. Les maxima principaux d’ordre impair seront proportionnels à ${\frac {1}{\mathrm {K} ^{2}}}\,;$ ils iront en décroissant régulièrement.

Remarquons que l’intervalle plein qui sépare deux fentes est égal à $2a-2b\,;$ si donc nous changeons $2b$ en $2a-2b,$ c’est-à-dire $b$ en $a-b$ dans nos formules d’intensité, nous aurons l’intensité résultant d’un nouveau réseau ne différant du premier qu’en ce que les espaces opaques remplacent les fentes et réciproquement. En changeant $b$ en $a-b$ dans $\sin {\frac {\mathrm {K} b\pi }{a}},$ nous obtenons

$\sin {\frac {\mathrm {K} (a-b)\pi }{a}}=\sin \left(\mathrm {K} \pi -{\frac {\mathrm {K} b\pi }{a}}\right)=\pm \sin {\frac {\mathrm {K} b\pi }{a}}\cdot$

Par conséquent la formule (3) devient

${\frac {n^{2}\sin ^{2}{\dfrac {b\mathrm {K} \pi }{a}}}{\,{\dfrac {\mathrm {K} ^{2}\pi ^{2}(a-b)^{2}}{a^{2}}}\,}}\cdot$

Nous aurons donc la même loi de décroissance pour les maxima principaux ; résultat conforme au théorème de Babinet.