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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

du pied de la perpendiculaire abaissée de $\mathrm {P}$ sur le plan. Nous pourrons donc supposer que la fonction $\mathrm {X}$ a une valeur constante et la faire sortir du signe d’intégration. En outre, le point $\mathrm {P}$ étant supposé éloigné du plan, ses distances $\mathrm {PO}$ et $\mathrm {PM}$ à deux points voisins $\mathrm {M}$ et $\mathrm {O}$ différeront peu l’une de l’autre, et nous pourrons considérer le facteur ${\frac {1}{r}}$ comme ayant la même valeur pour tous les éléments de l’intégrale qui ne sont pas négligeables. Nous aurons donc pour cette intégrale

$\int \mathrm {X} {\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\,d\omega ={\frac {\mathrm {X} }{r}}\int e^{i\alpha r}\,d\omega ={\frac {\mathrm {X} e^{i\alpha r_{0}}}{r}}\int e^{i\alpha (r-r_{0})}\,d\omega ,$

en appelant $r_{0}$ la distance du point $\mathrm {P}$ à un point arbitraire $\mathrm {O}$ du plan $\mathrm {Q} .$

105. Par les mêmes considérations que celles que nous avons exposées au § 95 nous arriverions à montrer que l’intensité lumineuse des divers points d’un plan parallèle à $\mathrm {R}$ est proportionnelle au carré du module de l’intégrale

(1)

$\int e^{i\alpha (r-r_{0})}\,d\omega .$

Transformons cette intégrale. Du point $\mathrm {M}$ abaissons sur $\mathrm {OP}$ la perpendiculaire $\mathrm {MM'}$ et désignons par $\mathrm {P}$ l’angle $\mathrm {OPM}$ et par $r$ la distance $\mathrm {PM} \,;$ nous aurons

$\mathrm {PM} '=r\cos \mathrm {P} =r-r(1-\cos \mathrm {P} )=r-2r\sin ^{2}{\frac {\mathrm {P} }{2}}\cdot$

L’angle $\mathrm {P}$ est très petit puisqu’un ne considère que des points