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DIFFRACTION

réelle et imaginaire de

(6)

$\mathrm {J} ={\frac {e^{{\frac {i\pi }{2}}v^{2}}}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {2e^{-v^{2}w^{2}}}{2w^{2}-i\pi }}\,dw.$

99. Si maintenant nous faisons tourner les axes autour du point $\mathrm {M}$ d’un angle égal à ${\frac {\pi }{2}}v^{2},$ c’est-à-dire d’après la relation (4), d’un angle égal à celui que fait la tangente à la courbe en $\mathrm {M}$ avec l’axe $Ox,$ nous aurons un nouveau système d’axes formé par la tangente et la normale à la courbe au point $\mathrm {M} .$ Désignons par $x'$ et $y'$ les coordonnées d’un point dans ce nouveau système, et par $x_{1}$ et $y_{1},$ les coordonnées du même point dans le système d’axes parallèles à $Ox$ et $oy$ et passant par $\mathrm {M} .$ Nous aurons les formules de transformation

${\begin{aligned}x'&=x_{1}\cos {\frac {\pi v^{2}}{2}}+y_{1}\sin {\frac {\pi v^{2}}{2}},\\[1.5ex]y'&=y_{1}\cos {\frac {\pi v^{2}}{2}}-x_{1}\sin {\frac {\pi v^{2}}{2}}\cdot \\\end{aligned}}$

En multipliant la seconde par $i$ et en additionnant le résultat avec la première nous obtenons

$x'+iy'=\left(x_{1}+iy_{1}\right)\cos {\frac {\pi v^{2}}{2}}-\left(ix_{1}-y_{1}\right)\sin {\frac {\pi v^{2}}{2}}$

ou

$x'+iy'=\left(x_{1}+iy_{1}\right)\left(\cos {\frac {\pi v^{2}}{2}}-i\sin {\frac {\pi v^{2}}{2}}\right)$

ou enfin

$x'+iy'=\left(x_{1}+iy_{1}\right)e^{-{\frac {i\pi v^{2}}{2}}}$