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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

où $v$ est supposé positif, nous aurons,

$\int _{0}^{\infty }e^{-v^{2}w^{2}}v\,dw={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.$

Le produit de cette intégrale par l’intégrale (5) donnera

$\int _{v}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{v^{2}\left({\frac {i\pi }{2}}-w^{2}\right)}v\,dv\,dw={\frac {\mathrm {J} }{2}}{\sqrt {\pi }}.$

Intégrons l’intégrale double du premier membre par rapport à $v,$ nous aurons

$\int _{v}^{\infty }e^{v^{2}\left({\frac {i\pi }{2}}-w^{2}\right)}v\,dv={\frac {1}{i\pi -2w^{2}}}\int _{v}^{\infty }de^{v^{2}\left({\frac {i\pi }{2}}-w^{2}\right)},$

ou

$\int _{v}^{\infty }e^{v^{2}\left({\frac {i\pi }{2}}-w^{2}\right)}v\,dv=-{\frac {1}{i\pi -2w^{2}}}e^{v^{2}\left({\frac {i\pi }{2}}-w^{2}\right)}.$

L’intégrale double devient donc

$\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{v^{2}\left({\frac {i\pi }{2}}-w^{2}\right)}}{2w^{2}-i\pi }}\,dw=e^{{\frac {i\pi }{2}}v^{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-v^{2}w^{2}}}{2w-i\pi }}dw={\frac {\mathrm {J} }{2}}{\sqrt {\pi }}.$

Nous en déduisons une nouvelle expression de $\mathrm {J}$ qui nous montre que les coordonnées du point $\mathrm {A}$ par rapport aux axes menés par $\mathrm {M}$ parallèlement aux axes $Ox$ et $Oy$ sont les parties