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de signe et $x$ et $y$ changent à la fois de signe ; l’origine est donc un centre de symétrie de la courbe.

Prenons les différentielles de $x$ et de $y,$ nous avons

$dx=\cos {\frac {\pi v^{2}}{2}}dv,\qquad \qquad dy=\sin {\frac {\pi v^{2}}{2}}dv.$

En élevant au carré et additionnant, nous obtenons

$dx^{2}+dy^{2}=ds^{2}=dv^{2}\,;$

donc

$ds=dv,$

$ds$ étant un élément d’arc de la courbe. En intégrant les deux membres de cette égalité et en prenant $0$ pour constante d’intégration, ce qui revient à compter les arcs à partir de l’origine puisque $x=y=0$ pour $v=0,$ on a

$s=v.$

Le rapport de ${\frac {dy}{dx}}$ donne la tangente de l’angle formé par l’axe des $x$ et la tangente à la courbe au point $x,y\,;$ en désignant par $\alpha$ cet angle on a

(4)

$\alpha ={\frac {\pi }{2}}v^{2}.$

Le rayon de courbure en un point est donné par

${\frac {ds}{d\alpha }}={\frac {dv}{\pi \,v\,dv}}={\frac {1}{\pi v}}\,;$

à l’origine, c’est-à-dire pour $v=0,$ le rayon de courbure est