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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
(15) se réduit à
car nous venons de voir que, si le point
est intérieur à
l’intégrale
est nulle.
Si dans l’expression (11), les fonctions arbitraires
et
sont quelconques, cette expression représentera toujours à l’extérieur de
une fonction
qui satisfera à l’équation (1) ; mais il n’arrivera pas en général que
se réduira à
et
à
quand le point
se rapprochera indéfiniment d’un élément
de
Pour qu’il en soit ainsi, il faut, d’après ce que nous venons de voir, que l’expression (11) soit nulle toutes les fois que le point
est intérieur à
Cette condition est suffisante. En effet, si elle est remplie, en un point infiniment voisin de
mais intérieur à cette surface, les valeurs de l’expression (11) et de ses dérivées seront nulles.
Considérons maintenant un point infiniment voisin du premier, mais extérieur à
D’après ce que nous avons dit plus haut de la discontinuité du potentiel d’une simple couche ou d’une double couche, les valeurs de
et de
en ces deux points infiniment voisins devront différer de quantités égales respectivement à
et
Or au premier point on a
![{\displaystyle \mathrm {U} ={\frac {d\mathrm {U} }{dn}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83a597cba91fe0244903ab5cf2de1812723f72ee)
On aura donc au second
![{\displaystyle \mathrm {U} =-4\pi \mathrm {X} _{2},\qquad \qquad \qquad {\frac {d\mathrm {U} }{dn}}=4\pi \mathrm {X} _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d58efeb22c86a14a609018e450c44c76a080ed9a)