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USAGE DES INVARIANTS INTÉGRAUX.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

267.Nous avons vu plus haut que

(1)

$\int {\textstyle \sum }\left(2x\,dy+y\,dx\right)-3t(\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} _{0})$

est un invariant intégral.

Nous allons, pour nous servir de cet invariant, faire un changement de variables analogue à celui du n^o 237.

Posons, pour plus de symétrie dans les notations,

${\begin{aligned}w_{i}'&=w_{i+2}\quad (i=1,\,2,\,3,\,4),&n_{i}'&=n_{i+2},&\varpi _{i}'&=\varpi _{i+2}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\Lambda _{0}&=\xi _{1},&\Lambda _{0}'&=\xi _{2}\,;&x_{i}'^{0}&=\xi _{i+2}.\end{aligned}}$

Nous avons vu que l’on pouvait développer les $x$ et les $y$ en séries dépendant des $w,$ des $w',$ de $\Lambda _{0},$ $\Lambda _{0}'$ et des $x_{i}'^{0}\,;$ c’est-à-dire, avec nos nouvelles notations, des $w_{i}$ et des $\xi _{i}(i=1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6).$

Nous pouvons alors prendre pour variables nouvelles les $\xi _{i}$ et les $w_{i}$ et alors les équations différentielles du mouvement prendront la forme

(2)

${\frac {d\xi _{i}}{0}}={\frac {dw_{i}}{n_{i}}}=dt$

[de même qu’au n^o 237 les équations (1) devenaient, après le changement de variables,

${\frac {dy_{i}}{0}}={\frac {dz}{1}}=dt$

ainsi que nous l’avons vu].

Les $n_{i}$ sont fonctions des $\xi _{i}$ seulement.

Mais il vaut mieux encore prendre d’autres variables ; en effet, les six $n_{i}$ étant fonctions des six $\xi _{i}$ seulement, rien n’empêche, au lieu des $\xi _{i}$ et des $w_{i},$ de prendre comme variables les $n_{i}$ et les $w_{i},$ de sorte que les équations différentielles deviennent

(3)

${\frac {dn_{i}}{0}}={\frac {dw_{i}}{n_{i}}}=dt.$

Un invariant intégral du premier ordre prendra la forme

$\mathrm {J} =\int \left({\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,dn_{i}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\,dw_{i}\right),$

les $\mathrm {A}$ et les $\mathrm {B}$ étant des fonctions des $n_{i}$ et des $w_{i}.$