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FORMATION DES INVARIANTS.

ou

$\mathrm {J} =\int _{\alpha _{0}}^{\alpha _{1}}\left[{\textstyle \sum }\,x\,{\frac {dy}{d\alpha }}+{\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\left(x'\,{\frac {dy'}{d\alpha }}-y'\,{\frac {dx'}{d\alpha }}\right)\right]d\alpha ,$

d’où

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=&\int \left[\sum {\frac {dx}{dt}}{\frac {dy}{d\alpha }}+{\frac {1}{2}}\sum \left({\frac {dx'}{dt}}{\frac {dy'}{d\alpha }}-{\frac {dy'}{dt}}{\frac {dx'}{d\alpha }}\right)\right]d\alpha \\+&\int \left[{\textstyle \sum }\,x\,{\frac {d^{2}y}{d\alpha \,dt}}+{\frac {1}{2}}\,{\textstyle \sum }\left(x'\,{\frac {d^{2}y'}{d\alpha \,dt}}-y'\,{\frac {d^{2}x'}{d\alpha \,dt}}\right)\right]d\alpha \end{aligned}}$

ou

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=&\int \left[\sum {\frac {d\mathrm {F} }{dy}}{\frac {dy}{d\alpha }}+{\frac {1}{2}}\sum \left({\frac {d\mathrm {F} }{dx'}}{\frac {dx'}{d\alpha }}+{\frac {d\mathrm {F} }{dy'}}{\frac {dy'}{d\alpha }}\right)\right]d\alpha \\-&\int \left[{\textstyle \sum }\,x\,{\frac {d}{d\alpha }}{\frac {d\mathrm {F} }{dx}}+{\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\left(x'\,{\frac {d}{d\alpha }}{\frac {d\mathrm {F} }{dx'}}+y'\,{\frac {d}{d\alpha }}{\frac {d\mathrm {F} }{dy'}}\right)\right]d\alpha ,\end{aligned}}$

ou, en intégrant par parties,

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=&\int _{\alpha _{0}}^{\alpha _{1}}\sum \left({\frac {d\mathrm {F} }{dx}}{\frac {dx}{d\alpha }}+{\frac {d\mathrm {F} }{dy}}{\frac {dy}{d\alpha }}+{\frac {d\mathrm {F} }{dx'}}{\frac {dx'}{d\alpha }}+{\frac {d\mathrm {F} }{dy'}}{\frac {dy'}{d\alpha }}\right)d\alpha \\-&\left[{\textstyle \sum }\,x\,{\frac {d\mathrm {F} }{dx}}+{\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\left(x'{\frac {d\mathrm {F} }{dx'}}+y'\,{\frac {d\mathrm {F} }{dy'}}\right)\right]_{\alpha =\alpha _{0}}^{\alpha =\alpha _{1}}\end{aligned}}$

ou

${\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=\left[\mathrm {F} -p\mathrm {F} \right]_{\alpha =\alpha _{0}}^{\alpha =\alpha _{1}}$

ou enfin

${\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=(1-p)(\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} _{0}),$

ce qui montre que $\mathrm {J}$ est encore un invariant de la quatrième sorte.

263.Appliquons ce qui précède au problème des trois corps et voyons ce que devient l’invariant du n^o 256 avec les diverses variables choisies.

Au n^o 11, nous avons pris comme variables

${\begin{array}{cccccc}\beta \mathrm {L} ,&\beta \mathrm {G} ,&\beta \Theta ,&\beta '\mathrm {L} ',&\beta '\mathrm {G} ',&\beta '\Theta ',\\l,&g,&\theta ,&l',&g',&\theta '.\end{array}}$

$\mathrm {F}$ est homogène de degré −2 par rapport aux variables de la première série : donc

$\int \!\!\left[\beta (\mathrm {L} \,dl+\mathrm {G} \,dg+\Theta \,d\theta )+\beta '(\mathrm {L} '\,dl'+\mathrm {G} '\,dg'+\Theta '\,d\theta ')\right]+3t(\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} _{0})$

sera un invariant.