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CHAPITRE XXIII.

Il n’en est pas de même du suivant qui existe lorsque la fonction $\mathrm {V}$ est homogène par rapport aux $x.$

Nous avons vu, au n^o 56, que si $\mathrm {V}$ est homogène de degré $-1,$ les équations aux variations admettent pour intégrale

${\textstyle \sum }\left(2x_{ki}\eta _{ki}+y_{ki}\xi _{ki}\right)=3t\left[\sum \left({\frac {y_{ki}\eta _{ki}}{m_{i}}}-{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{ki}}}\xi _{ki}\right)\right]+\mathrm {const.} ,$

ou, en supprimant les indices,

${\textstyle \sum }\left(2x\eta +y\xi \right)=3t\left[\sum \left({\frac {y\eta }{m}}-{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\xi \right)\right]+\mathrm {const.} ,$

Plus généralement, si $\mathrm {V}$ est homogène d’ordre $p,$ on obtiendrait, par le même procédé, l’intégrale suivante

${\textstyle \sum }\left(2x\eta -py\xi \right)=(2-p)t\sum \left({\frac {y\eta }{m}}-{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\,\xi \right)+\mathrm {const.} ,$

d’où l’invariant intégral

$\mathrm {J} =\int {\textstyle \sum }\left(2x\,dy-py\,dx\right)+(p-2)t\int \sum \left({\frac {y\,dy}{m}}-{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\,dx\right),$

invariant qui est d’une nature toute particulière puisqu’il dépend du temps.

La seconde intégrale peut s’écrire

$\int d\sum \left({\frac {y^{2}}{2m}}-\mathrm {V} \right),$

c’est donc une intégrale de différentielle exacte ; et il est aisé de voir que

$\sum \left({\frac {y^{2}}{2m}}-\mathrm {V} \right)$

n’est autre chose que la constante des forces vives que j’appellerai $\mathrm {C} .$

L’invariant $\mathrm {J}$ est du premier ordre ; c’est donc une intégrale prise le long d’un arc de courbe quelconque. Soient donc $\mathrm {C} _{0}$ et $\mathrm {C} _{1}$ les valeurs de la constante des forces vives aux deux extrémités de cet arc.

Cet arc n’est autre chose que la figure que nous appelions $\mathrm {F} _{0}$ dans le Chapitre précédent ; quand cette figure se déforme pour