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STABILITÉ À LA POISSON.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

volumes

$\mathrm {U} _{0},\quad \mathrm {U} _{1},\quad \mathrm {U} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {U} _{n}$

sont égaux entre eux.

Soit $\mathrm {V}$ le volume total du vase, si

$\mathrm {V} <(n+1)\mathrm {U} _{0},$

on aura

$\mathrm {V} <\mathrm {U} _{0}+\mathrm {U} _{1}+\mathrm {U} _{2}+\ldots +\mathrm {U} _{n}.$

Il est donc impossible que tous ces volumes $\mathrm {U} _{0},$ $\mathrm {U} _{1},\,\ldots ,$ $\mathrm {U} _{n}$ soient tous extérieurs les uns aux autres ; il faut que deux au moins d’entre eux, $\mathrm {U} _{i}$ et $\mathrm {U} _{k},$ par exemple, aient une partie commune.

Je dis que, si $\mathrm {U} _{i}$ et $\mathrm {U} _{k}$ ont une partie commune, il en sera de même de $\mathrm {U} _{0}$ et $\mathrm {U} _{k-i}$ (en supposant par exemple $k>i$). Soit en effet $\mathrm {M}$ un point commun à $\mathrm {U} _{i}$ et à $\mathrm {U} _{k}\,;$ la molécule qui est au point $\mathrm {M}$ à l’instant $i\tau$ est à l’instant 0 en un point $\mathrm {M} _{0}$ appartenant à $\mathrm {U} _{0},$ puisque le point $\mathrm {M}$ appartient à $\mathrm {U} _{i}.$

De même la molécule qui est au point $\mathrm {M}$ à l’instant $k\tau$ est à l’instant $(k-i)\tau$ au point $\mathrm {M} _{0},$ puisque le mouvement est permanent ; elle est, d’autre part, à l’instant 0, en un point $\mathrm {M} _{1}$ appartenant à $\mathrm {U} _{0}$ puisque $\mathrm {M}$ appartient à $\mathrm {U} _{k}$ et nous devons en conclure en outre que $\mathrm {M} _{0}$ appartient à $\mathrm {U} _{k-i}.$

Donc $\mathrm {U} _{k-i}$ et $\mathrm {U} _{0}$ ont des points communs. C. Q. F. D.

On peut donc choisir le nombre $\alpha$ de telle sorte que $\mathrm {U} _{0}$ et $\mathrm {U} _{\alpha }$ aient une partie commune.

Soit $\mathrm {U} _{0}'$ cette partie commune, et formons $\mathrm {U} _{1}',$ $\mathrm {U} _{2}',\,\ldots$ avec $\mathrm {U} _{0}'$ comme nous avons formé $\mathrm {U} _{1},$ $\mathrm {U} _{2},\,\ldots$ avec $\mathrm {U} _{0}.$ Nous pourrons trouver un nombre $\beta$ tel que $\mathrm {U} _{0}$ et $\mathrm {U} _{\beta }'$ aient une partie commune.

Soit $\mathrm {U} _{0}''$ cette partie commune.

Nous pourrons trouver un nombre $\gamma$ tel que $\mathrm {U} _{0}''$ et $\mathrm {U} _{\gamma }''$ aient une partie commune.

Et ainsi de suite.

Il résulte de là que $\mathrm {U} _{0}'$ fait partie de $\mathrm {U} _{0},$ $\mathrm {U} _{0}''$ de $\mathrm {U} _{0}',$ $\mathrm {U} _{0}'''$ de $\mathrm {U} _{0}'',\,\ldots .$ En général, $\mathrm {U} _{0}^{(p+1)}$ fera partie de $\mathrm {U} _{0}^{(p)}.$ Quand le nombre $p$ croît indéfiniment, le volume $\mathrm {U} _{0}^{(p)}$ devient donc de plus en plus petit.

D’après un théorème bien connu, il y aura au moins un point,