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CHAPITRE XXV.

dont une stable et une instable. Soient

$\varpi _{1}',\quad \varpi _{2}'\,;\qquad \varpi _{1}'',\quad \varpi _{2}''$

les valeurs correspondantes des constantes $\varpi _{1}$ et $\varpi _{2}.$

Soient

${\begin{alignedat}{5}\theta &{}+{}&{\frac {\omega }{n_{1}}}\left(\varphi _{0}-\varpi _{1}'\right)&{}+{}&\varpi _{2}'&=\psi ',\\[0.75ex]\theta &{}+{}&{\frac {\omega }{n_{1}}}\left(\varphi _{0}-\varpi _{1}''\right)&{}+{}&\varpi _{2}''&=\psi '',\end{alignedat}}$

l’équation (4 bis) nous donnera, pour la première solution périodique,

$x_{1}^{0}=\cos \left(\psi '+{\frac {2k\omega \pi }{n_{1}}}\right)$

et pour la seconde

$x_{1}^{0}=\cos \left(\psi ''+{\frac {2k\omega \pi }{n_{1}}}\right)\cdot$

Nous pourrons, sans restreindre la généralité, supposer $\psi ''>\psi '$ et d’ailleurs $\psi '$ et $\psi ''$" compris entre $0$ et ${\frac {2\pi }{\mathrm {D} }}\cdot$ Alors la forme $\Pi$ sera

indéfinie pour	$x_{1}^{0}=\cos \left(\psi '\,+{\frac {2\pi }{\mathrm {D} }}\right),$
indéfinie pour	$x_{1}^{0}=\cos \left(\psi ''+{\frac {2\pi }{\mathrm {D} }}\right),$
indéfinie pour	$x_{1}^{0}=\cos \left(\psi '\,+{\frac {4\pi }{\mathrm {D} }}\right),$
indéfinie pour	$x_{1}^{0}=\cos \left(\psi ''+{\frac {4\pi }{\mathrm {D} }}\right),$
$\ldots \ldots \ldots \ldots$	$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..,$
indéfinie pour	$x_{1}^{0}=\cos \left(\psi '\,+2\pi \right),$
indéfinie pour	$x_{1}^{0}=\cos \left(\psi ''+2\pi \right)\,;$

ce qui montre que le discriminant de $\Pi$ considéré comme forme binaire doit s’annuler au moins $2\mathrm {D}$ fois, d’où l’on conclurait, comme plus haut, qu’il est identiquement nul.

La forme $\Pi$ se réduit donc à un carré ; donc, comme elle doit être égale à

$\mathrm {B} \,\delta f_{1}\,\delta f_{1}'$