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CHAPITRE XXV.

dont les coefficients sont des fonctions algébriques en $x_{1},$ $x_{2},$ $y_{1},\,y_{2}.$

Voici quelles seront les variables $x_{i}$ et $y_{i}$ que nous choisirons. Dans ce problème, que j’appelle restreint, deux des corps décrivent des circonférences concentriques et le troisième dont la masse est nulle se meut dans le plan de ces circonférences. Je rapporterai ce troisième corps à des axes mobiles tournant d’un mouvement uniforme autour du centre de gravité des deux premiers ; l’un de ces axes coïncidera constamment avec la droite qui joint ces deux premiers corps. J’appellerai $x_{1}$ et $x_{2}$ les coordonnées du troisième corps par rapport à ces axes mobiles, et $y_{1}$ et $y_{2}$ les projections de la vitesse absolue sur les axes mobiles.

Posons alors

$\Phi =\mathrm {F} +\omega \,\mathrm {G} ,$

où $\mathrm {F}$ et $\mathrm {G}$ désignent la fonction des forces vives et la fonction des aires dans le mouvement absolu, et où $\omega$ désigne la vitesse angulaire de rotation des deux premiers corps autour de leur centre de gravité commun. Les équations prendront la forme canonique

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\Phi }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\Phi }{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}$

L’intégrale $\Phi =\mathrm {const.}$ n’est autre chose que « l’intégrale de Jacobi » (cf. Tome 1, n^o 9, page 23).

Cela posé, notre expression $\Pi$ sera une forme quadratique en

$\delta x_{1},\quad \delta x_{2},\quad \delta y_{1},\quad \delta y_{2},$

dont les coefficients seront algébriques en $x_{i}$ et $y_{i}.$ Si nous supposons que les quatre variables $x$ et $y$ sont liées par la relation

$\Phi =\mathrm {const.} ,$

qui entraîne la suivante

$\delta \Phi =0,$

nos quatre variables $\delta x_{i},$ $\delta y_{i}$ ne seront plus indépendantes ; on pourra éliminer l’une d’entre elles, et $\Pi$ deviendra une forme quadratique ternaire.

Considérons un point de la solution périodique ; pour ce point on aura

$f_{1}=f_{1}'=0.$