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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

(Les équations trop longues pour tenir sur une ligne ont été mises sur 2 lignes)

Soit $\mathrm {D} _{k}$ ce que devient le coefficient du terme en

$f_{k}'\left(\delta f_{k}\,\delta '\!\Theta -\delta \Theta \,\delta '\!f_{k}\right)$

et $\mathrm {D} _{0}$ ce que devient celui du terme en

$\left(\delta \Phi \,\delta '\!\Theta -\delta \Theta \,\delta '\!\Phi \right).$

Nous devrons avoir identiquement

${\begin{aligned}&{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}\left[\delta \alpha _{k}\,\delta '\!(\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')-\delta '\!\alpha _{k}\,\delta (\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')\right]\\[-0.5ex]&\;\;+{\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{k}\left[\delta (\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')\,\delta '\!\alpha _{0}-\delta '\!(\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')\,\delta \alpha _{0}\right]+\mathrm {D} _{0}(\delta \mathrm {C} \,\delta '\!\alpha _{0}-\delta '\!\mathrm {C} \,\delta \alpha _{0})=0.\end{aligned}}$

Écrivons, pour abréger, $\gamma _{k}$ au lieu de $\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}',$ $\gamma _{0}$ au lieu de $\mathrm {C}$ et

$\partial (u,v)$

au lieu de

$\delta u\,\delta '\!v-\delta v\,\delta '\!u\,;$

il viendra

${\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}\,\partial (\alpha _{k},\gamma _{k})+{\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{k}\,\partial (\gamma _{k},\alpha _{0})+\mathrm {D} _{0}\,\partial (\gamma _{0},\alpha _{0})=0$

ou bien

${\begin{aligned}{\textstyle \sum \sum }\,\mathrm {B} _{k}\,{\frac {d\alpha _{k}}{d\gamma _{j}}}\,\partial (\gamma _{j},\gamma _{k})&+{\textstyle \sum \sum }\,\mathrm {D} _{k}\,{\frac {d\alpha _{0}}{d\gamma _{j}}}\,\partial (\gamma _{k},\gamma _{j})\\[-0.25ex]&+{\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{0}\,{\frac {d\alpha _{0}}{d\gamma _{j}}}\,\partial (\gamma _{0},\gamma _{j})=0.\end{aligned}}$

Sous le signe $\textstyle \sum \,$ ou $\textstyle \sum \sum ,$ $k$ peut prendre les valeurs $1,$ $2,\,\ldots ,$ $n-1$ et $j$ les valeurs $0,$ $1,$ $2,\,\ldots ,$ $n-1.$

En égalant à zéro le coefficient de $\partial (\gamma _{j},\gamma _{k}),$ on trouve

(12)

$\mathrm {B} _{k}\,{\frac {d\alpha _{k}}{d\gamma _{j}}}-\mathrm {B} _{j}\,{\frac {d\alpha _{j}}{d\gamma _{k}}}-\mathrm {D} _{k}\,{\frac {d\alpha _{0}}{d\gamma _{j}}}+\mathrm {D} _{j}\,{\frac {d\alpha _{0}}{d\gamma _{k}}}=0.$

En égalant à zéro le coefficient de $\partial (\gamma _{0},\gamma _{j}),$ on trouve

(12 bis)

$\mathrm {B} _{j}\,{\frac {d\alpha _{j}}{d\gamma _{0}}}-\mathrm {D} _{j}\,{\frac {d\alpha _{0}}{d\gamma _{0}}}+\mathrm {D} _{0}\,{\frac {d\alpha _{0}}{d\gamma _{j}}}=0.$

Ces équations expriment que

(13)

$-\mathrm {D} _{0}\,\alpha _{0}\,d\gamma _{0}+{\textstyle \sum }\,(\mathrm {B} _{k}\alpha _{k}-\mathrm {D} _{k}\alpha _{0})d\gamma _{k}$

est une différentielle exacte.

Dans les équations (12) et (12 bis) il faut faire $\gamma _{j}=0\,;$ les ${\frac {d\alpha }{d\gamma }}$ sont donc des constantes ; les $\alpha _{j}$ sont donc des fonctions linéaires des $\gamma \,;$ en réalité, comme nous l’avons vu, les $\alpha$ peuvent être développés suivant les puissances des $\gamma \,;$ mais le résultat que nous