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CHAPITRE XXV.

Tableau (8) :

$\omega _{2}$ se déduit de $\omega _{1}$ en permutant $f_{k}$ et $f_{k}'$,

$\omega _{3}$ se déduit de $\omega _{2}$ en permutant $f_{j}$ et $f_{j}'$,

$\omega _{4}$ se déduit de $\omega _{3}$ en faisant à la fois ces deux permutations.

Pour que les termes en $t^{2}$ disparaissent, il faut et il suffit que

(11)

$\psi _{1}-\psi _{2}-\psi _{3}+\psi _{4}=0.$

Si cette condition est remplie, nos quatre termes

$\psi _{1}\omega _{1}+\psi _{2}\omega _{2}+\psi _{3}\omega _{3}+\psi _{4}\omega _{3}\,;$

nous donneront comme termes en $t$

${\begin{aligned}&(\psi _{1}-\psi _{2})\,t\,\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'\left[\delta \alpha _{k}\,\delta '\!(\mathrm {A} _{j}\mathrm {A} _{j}')-\delta '\!\alpha _{k}\,\delta (\mathrm {A} _{j}\mathrm {A} _{j}')\right]\\[0ex]&\quad +(\psi _{3}-\psi _{1})\,t\,\mathrm {A} _{j}\mathrm {A} _{j}'\left[\delta \alpha _{j}\,\delta '\!(\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')-\delta '\!\alpha _{j}\,\delta (\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')\right].\end{aligned}}$

Considérons maintenant les termes de la quatrième sorte que nous associerons deux par deux ; soit un groupe de deux termes

$\psi _{1}\omega _{1}+\psi _{2}\omega _{2},$

où $\psi _{1}$ et $\psi _{2}$ sont développables suivant les puissances de $\mathrm {C}$ et des $\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'\,;$ où $\omega _{1}$ est l’expression qui figure à la quatrième ligne du Tableau (10) et où $\omega _{2}$ est celle qu’on en déduit en permutant $\mathrm {A} _{k}$ et $\mathrm {A} _{k}'$ et changeant $\alpha _{k}$ en $-\alpha _{k}.$

Pour que les termes en $t^{2}$ disparaissent, il faut que

$\psi _{1}=\psi _{2}$

et alors les termes en $t$ se réduisent à

$\psi _{1}\,t\left[\delta (\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')\,\delta '\!\alpha _{0}-\delta '\!(\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')\,\delta \alpha _{0}\right].$

281.Maintenant nos termes en $t$ procèdent suivant les puissances de $\mathrm {C} ,$ des $\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'\,;$ et suivant les $\delta$ et les $\delta '\!,$ de $\alpha _{0},$ $\alpha _{k},$ $\mathrm {C} ,$ $\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'.$ Il nous reste à faire disparaître ces termes ; je vais écrire qu’ils sont nuls quand on y fait

${\begin{aligned}\mathrm {C} &=0,&\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'=0.\end{aligned}}$

sans supposer bien entendu que $\delta \mathrm {C} ,$ $\delta '\!\mathrm {C} ,$ $\delta \mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}',$ $\delta '\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'$ soient nuls.

Soit dans notre invariant $\mathrm {B} _{k}$ ce que devient le coefficient du terme en $\left(\delta f_{k}\,\delta '\!f_{k}'-\delta f_{k}'\,\delta '\!f_{k}\right)$ quand on y fait $\mathrm {C} =\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'=0.$