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CHAPITRE XI.

Je suppose que dans $\mathrm {T} ,$ qui dépendait des constantes $\Lambda ,$ $\Lambda ',$ $\Omega _{1}$ et $\Omega _{2},$ on ait remplacé ces constantes en fonctions de $\Lambda ,$ $\Lambda ',$ $\mathrm {V} _{1}$ et $\mathrm {V} _{2}.$ C’est dans ce sens qu’il faut entendre ${\frac {d\mathrm {T} }{d\Lambda }},$ ${\frac {d\mathrm {T} }{d\Lambda '}},$ ${\frac {d\mathrm {T} }{d\mathrm {V} _{i}}}\cdot$

Pour que les conclusions du n^o 135 soient applicables, il faut que les variables anciennes

$\Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \lambda _{1},\quad \lambda '_{1},\quad \rho _{i},$

ainsi que les variables

$\omega _{i}-v_{i}$

soient des fonctions uniformes des variables nouvelles

$\Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \lambda _{2},\quad \lambda '_{2},\quad \mathrm {V} _{i},\quad v_{i}$

et que ces fonctions soient périodiques, par rapport à $v_{1}$ et à $v_{2}.$

Cherchons d’abord les expressions de $\omega _{1},$ et $\omega _{2}$ en fonctions des variables nouvelles, nous avons pour cela les deux équations

(5)

${\begin{aligned}v_{1}&={\frac {d\mathrm {T} }{d\mathrm {V} _{1}}}=\omega _{1}+{\frac {d\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{1}}},&v_{2}&={\frac {d\mathrm {T} }{d\mathrm {V} _{2}}}=\omega _{2}+{\frac {d\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{2}}}\cdot \end{aligned}}$

Nous devons d’abord nous demander si les valeurs de $\omega _{1}$ et de $\omega _{2}$ tirées de ces équations seront des fonctions uniformes des variables nouvelles. Pour qu’elles cessassent de l’être, il faudrait que le déterminant fonctionnel des seconds membres par rapport à $\omega _{1}$ et $\omega _{2}$ s’annulât, c’est-à-dire que l’on eût

${\begin{aligned}{\frac {\partial \left({\dfrac {d\mathrm {T} }{d\mathrm {V} _{1}}},{\dfrac {d\mathrm {T} }{d\mathrm {V} _{2}}}\right)}{\partial (\omega _{1},\omega _{2})}}=1&+{\frac {d^{2}\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{1}\,d\omega _{1}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{2}\,d\omega _{2}}}\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{1}\,d\omega _{1}}}{\frac {d^{2}\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{2}\,d\omega _{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{2}\,d\omega _{1}}}{\frac {d^{2}\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{1}\,d\omega _{2}}}=0.\end{aligned}}$

J’écrirai, pour abréger, cette équation sous la forme suivante

$1+\mathrm {J} =0.$

J’observe d’abord que $\rho _{1}$ et $\rho _{2}$ seront dans les applications des quantités très petites de l’ordre du carré des excentricités.

Ces quantités $\rho _{i}$ sont liées aux $\Omega _{i}$ par les relations suivantes

$\rho _{i}={\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}}\cdot$