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APPLICATION AU PROBLÈME DES TROIS CORPS.
de 
ainsi que de
et de 
Les fonctions
sont connues. Nous connaissons 
à une fonction arbitraire près de 
; nous connaissons donc
et 
Donc on peut regarder 
comme une fonction connue
des 
et cette fonction sera périodique.
Étant donnée une fonction périodique 
de 
et 
nous
désignerons par ![{\displaystyle [\mathrm {U} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/256c1fd11e623b2e2410c62506f9fd6a72c5b384)
la valeur moyenne de considérée un instant
comme fonction de 
et seulement. Il en résulte que est
encore une fonction de 
On verrait, comme plus haut, que la valeur moyenne du second
membre de (7) doit se réduire à une constante 
d’où
![{\displaystyle \left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{3}^{0}}}{\frac {d\mathrm {S} _{p-1}}{dy_{3}}}\right]+\left[\Phi _{p}\right]=\mathrm {C} '_{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aba965429ca2ea1a0489176c8e1f0e85439ede0)
![{\displaystyle \left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{3}^{0}}}{\frac {d[\mathrm {S} _{p-1}]}{dy_{3}}}\right]+\left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{3}^{0}}}{\frac {d(\mathrm {S} _{p-1}-[\mathrm {S} _{p-1}])}{dy_{3}}}\right]+\left[\Phi _{p}\right]=\mathrm {C} '_{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70d3a2cb974bf1cfb280a783f22ae6e81a69bbdd)
Comme ![{\displaystyle \left[\mathrm {S} _{p-1}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eac77e52e477ae229bf934bfb4f8bc0c3d324404)
ne dépend pas de 
il vient
![{\displaystyle \left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{3}^{0}}}{\frac {d[\mathrm {S} _{p-1}]}{dy_{3}}}\right]={\frac {d[\mathrm {S} _{p-1}]}{dy_{3}}}\left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{3}^{0}}}\right]={\frac {d\mathrm {R} }{dx_{3}^{0}}}{\frac {d[\mathrm {S} _{p-1}]}{dy_{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55df5d8144a75a80d68b150fb0e6a40f9e894c8f)
d’où
| (8)
|
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {R} }{dx_{3}^{0}}}{\frac {d[\mathrm {S} _{p-1}]}{dy_{3}}}=\mathrm {C} '_{p}-\left[\Phi _{p}\right]-\left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{3}^{0}}}{\frac {d(\mathrm {S} _{p-1}-[\mathrm {S} _{p-1}])}{dy_{3}}}\right]\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50b6b2b1379fe2d134b4cabf3cec3b4d63e0d322)
|
|
Connaissant à une fonction arbitraire près de nous connaissons
![{\displaystyle \mathrm {S} _{p-1}-\left[\mathrm {S} _{p-1}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4ee3d660ee83567a61f3f2d35290f4b35cb2746)
Le second membre de (8) est donc entièrement connu. D’autre
part, 
est une fonction connue de 
et 
où ces variables
sont remplacées par les constantes connues 
et 
Nous
connaissons donc 
et l’on pourra tirer de l’équation (8) ![{\displaystyle {\frac {d[\mathrm {S} _{p-1}]}{dy_{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30b2cee0d147cd93918781d0e8ffb51ba084dd2d)
et par intégration ![{\displaystyle [\mathrm {S} _{p-1}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ca0b8c20d8a9b0d5b6e7d04d6c9761c3c88082)
Pour que ![{\displaystyle [\mathrm {S} _{p-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec593a0252f0ad49b025d6bfe4936d69707ba824)
soit une fonction périodique de il faut que
la valeur moyenne du second membre de (8) soit nulle ; or on peut
