Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/464

450

CHAPITRE XXI.

$\psi$ étant une fonction des $\omega _{i}$ que l’on peut regarder comme donnée et qui est périodique.

Cela nous donne

$2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-2}}{d\omega _{i}}}=\gamma +\psi (\omega _{i}),$

équation qui détermine $\mathrm {V} _{q-2},,$ après quoi on tirera facilement $\mathrm {U} _{\frac {q}{2}}$ de l’équation (14).

C’est là le cas ordinaire.

Mais il peut se faire que $\gamma$ et $\mathrm {X}$ soient choisis de telle sorte que $\mathrm {Z}$ puisse s’annuler. Dans ce cas c’est la seconde période de notre intégrale elliptique qui est réelle. En égalant cette seconde période à une constante donnée $h,$ on obtiendra une équation (15 bis) analogue à (15). Si l’on résout par rapport à $\mathrm {X} ,$ il viendra

$\mathrm {X} =\gamma +\psi '(\omega _{i})$

ou

$2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-2}}{d\omega _{i}}}=\gamma +\psi '(\omega _{i}),$

qui déterminera $\mathrm {V} _{q-2}$ puisque $\psi '$ est connue et périodique.

C’est là le cas de la libration.

On obtiendra le cas limite en écrivant que l’une des périodes de l’intégrale elliptique de première espèce correspondante est infinie, ce qui donne pour déterminer $\mathrm {V} _{q-2}$ l’équation suivante

$2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-2}}{d\omega _{i}}}=\mathrm {L} \gamma _{q}-\mathrm {L} _{q}+{\sqrt {\mathrm {M} _{q}^{2}+\mathrm {N} _{q}^{2}}}.$

L’inconvénient de cette façon d’opérer, c’est que les expressions obtenues dans les deux cas ne sont pas la continuation analytique l’une de l’autre.

Égalons maintenant les coefficients de $\varepsilon ^{q+1},$ il viendra

(16)

$2\mathrm {A} {\frac {d\mathrm {U} _{\frac {q}{2}}}{dy_{1}}}{\frac {d\mathrm {U} _{{\frac {q}{2}}+1}}{dy_{1}}}+2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-1}}{d\omega _{i}}}=\gamma _{q+1}+\Phi ,$

$\Phi$ étant connu et périodique.