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SÉRIES DE M. BOHLIN.

pour la première de ces quantités je me bornerai à remarquer qu’elle dépend seulement de $y_{1},$ et pas de $y_{2},$ $y_{3},\,\ldots y_{n}.$

Quant à la seconde on trouve, en faisant,

$\lambda =x_{k}^{0}=0,$

après la différentiation

${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{d\lambda }}={\frac {\mathrm {D} }{2}}\int {\frac {dy_{1}}{\sqrt {-\mathrm {F} _{1}}}}\cdot$

Cela posé, considérons les seconds membres des équations (11) et (13).

Ce sont $n$ fonctions $y_{1},$ $y_{2},$ $\ldots ,\,y_{n}\,;$ leur déterminant fonctionnel $\Delta$ par rapport à $y_{1},$ $y_{2},$ $\ldots ,\,y_{n}$ est divisible par ${\sqrt {\mu }}\,;$ mais si on le divise par ${\sqrt {\mu }},$, puis qu’après la division on fasse $\mu =0,$ ce déterminant fonctionnel se réduit à

${\frac {\mathrm {D} }{2{\sqrt {-\mathrm {F} _{1}}}}}\cdot$

Cette expression ne s’annule pour aucun système de valeurs des $y,$ puisque $\mathrm {F} _{1}$ n’est jamais infini.

Si donc $\mu$ est suffisamment petit, $\Delta$ ne s’annule pas.

En revanche, $\Delta$ peut devenir infini ; en effet, les seconds membres des équations (11) et (13) deviennent infinis pour

$y_{1}=2k\pi .$

Il résulte de là que, quand on donnera à $y_{2},$ $y_{3},$ $\ldots ,\,y_{n}$ toutes les valeurs possibles et qu’on fera varier $y_{1}$ de zéro à $2\pi ,$ $\Delta$ ne changera pas de signe.

Nous prendrons pour simplifier

${\begin{aligned}\theta _{1}&=1,&\theta _{k}&=0,\end{aligned}}$

de sorte que les équations (11) et (13) s’écriront

(11)

$w_{k}=y_{1}\,{\frac {d\beta _{1}}{dx_{k}^{0}}}+y_{k}+{\frac {d\mathrm {S} '}{dx_{k}^{0}}},$

(13)

$w_{1}=\alpha \log \mathrm {tang} {\frac {y_{1}}{4}}+\gamma \,y_{1}+\Theta .$