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CHAPITRE XX.

la mettre sous la forme

${\frac {\alpha }{2\sin {\dfrac {y_{1}}{2}}}}+f(y_{1}),$

$f(y_{1})$ étant une fonction finie et périodique.

L’intégrale elle-même devient donc logarithmiquement infinie pour $y_{1}=0,$ $y_{1}=2\pi ,\,\ldots ;$ je veux dire qu’on peut la mettre sous la forme

$\alpha \log \mathrm {tang} {\frac {y_{1}}{4}}+\psi ,$

$\psi$ étant une fonction de $y_{1}$ qui reste finie pour toutes les valeurs de $y_{1}$ et $\alpha$ une constante.

On a donc

${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}=\alpha \log \mathrm {tang} {\frac {y_{1}}{4}}+\gamma \,y_{1}+\Theta ,$

$\gamma$ étant une nouvelle constante et $\Theta$ une fonction développée suivant les sinus et les cosinus des multiples de

${\frac {y_{1}}{2}},\quad y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n}.$

d’où

(13)

$w_{1}\theta _{1}=\alpha \log \mathrm {tang} {\frac {y_{1}}{4}}+\gamma \,y_{1}+\Theta .$

Il s’agit maintenant de se servir des équations (11) et (13) pour trouver les $y$ en fonctions des $w.$

Les seconds membres de ces équations (11) et (13) étant développables suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ cherchons les premiers termes du développement.

Le terme indépendant de ${\sqrt {\mu }}$ se réduit à zéro dans le second membre de (13) et à

${\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}\,y_{1}+y_{k}$

dans le second membre de (11).

Quant au terme en ${\sqrt {\mu }},$ il doit se réduire dans (11) et dans (13) respectivement à

${\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dx_{k}^{0}}}$et${\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{d\lambda }}\,;$