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MÉTHODES DE MM. NEWCOMB ET LINDSTEDT.

$n$ fonctions de $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $\ldots ,$ $x_{n}^{0},$ et de $\mu$ développables suivant les puissances de $\mu .$

Si, dans les séries (2), l’on change $w_{1},$ $w_{2},$ $\ldots ,$ $w_{n},$ en

$w_{1}+\mu \omega _{1},\quad w_{2}+\mu \omega _{2},\quad \ldots ,\quad w_{n}+\mu \omega _{n}$

ces séries conserveront la même forme ; nous avons en effet

(2)

$\left\{{\begin{alignedat}{3}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu \varphi _{i}(w_{k},\mu ),\\y_{i}&=w_{i}&{}+{}&\mu \psi _{i}(w_{k},\mu ),\end{alignedat}}\right.$

les $\varphi _{i}$ et les $\psi _{i}$ étant développables suivant les puissances de $\mu$ et périodiques par rapport aux $w.$

Quand on changera $w_{i}$ en $w_{i}+\mu \omega _{i},$ il viendra

(2 ter)

$\left\{{\begin{alignedat}{3}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu \varphi _{i}(w_{k}+\mu \omega _{k},\mu ),\\y_{i}&=w_{i}&{}+{}&\mu [\omega _{i}+\psi _{i}(w_{k}+\mu \omega _{k},\mu )].\end{alignedat}}\right.$

Il est manifeste que $\varphi _{i}(w_{k}+\mu \omega _{k},\mu )$ et $\psi _{i}(w_{k}+\mu \omega _{k},\mu )$ sont encore développables suivant les puissances de $\mu$ et périodiques par rapport aux $w.$

De plus les séries (2 ter) satisfont formellement aux équations (1). En effet, les séries (2) satisfont à ces équations quand on y fait

$\omega _{i}=n_{i}t+\varpi _{i},$

quelles que soient les valeurs attribuées aux constantes d’intégration $\varpi _{i}.$

Or les $\omega _{i}$ sont des fonctions des $x_{i}^{0}$ qui sont des constantes : ce sont donc des constantes. Donc changer $w_{i}$ en $w_{i}+\mu \omega _{i}$ revient à remplacer les constantes d’intégration $\varpi _{i}$ par des constantes différentes $\varpi _{i}+\mu \omega _{i},$ ce qui, d’après la remarque que nous venons de faire, n’empêchera pas nos séries de satisfaire encore aux équations différentielles (1).

Ainsi les séries (2 ter) satisfont formellement aux équations (1).

Seulement elles ne peuvent pas être tirées d’équations analogues aux équations (8) et (8 bis), à moins que

$\mu (\omega _{1}dx_{1}^{0}+\omega _{2}dx_{2}^{0}+\ldots +\omega _{n}dx_{n}^{0})$