25
MÉTHODES DE MM. NEWCOMB ET LINDSTEDT.
fonctions de
et de
développables suivant les puissances de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Si, dans les séries (2), l’on change
en
![{\displaystyle w_{1}+\mu \omega _{1},\quad w_{2}+\mu \omega _{2},\quad \ldots ,\quad w_{n}+\mu \omega _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c2b5de7c8030a7a656792e62a0ac7e5c7dbbb7a)
ces séries conserveront la même forme ; nous avons en effet
(2)
|
|
|
les
et les
étant développables suivant les puissances de
et
périodiques par rapport aux ![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
Quand on changera
en
il viendra
(2 ter)
|
|
|
Il est manifeste que
et
sont encore développables suivant les puissances de
et périodiques par rapport aux ![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
De plus les séries (2 ter) satisfont formellement aux équations (1).
En effet, les séries (2) satisfont à ces équations quand
on y fait
![{\displaystyle \omega _{i}=n_{i}t+\varpi _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d9242ac45536cba1edb729be62a39b6ffe88347)
quelles que soient les valeurs attribuées aux constantes d’intégration ![{\displaystyle \varpi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ada1df8290abdb5d0e612615aab6da6d374b1b)
Or les
sont des fonctions des
qui sont des constantes : ce
sont donc des constantes. Donc changer
en
revient
à remplacer les constantes d’intégration
par des constantes
différentes
ce qui, d’après la remarque que nous venons
de faire, n’empêchera pas nos séries de satisfaire encore aux équations différentielles (1).
Ainsi les séries (2 ter) satisfont formellement aux équations (1).
Seulement elles ne peuvent pas être tirées d’équations analogues
aux équations (8) et (8 bis), à moins que
![{\displaystyle \mu (\omega _{1}dx_{1}^{0}+\omega _{2}dx_{2}^{0}+\ldots +\omega _{n}dx_{n}^{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afc25b5a7c7ce6226f6b222249badf0387e67ca4)