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CHAPITRE XVII.

Par conséquent, d’après l’inégalité (6) du n^o 185, on aura

(4)

$\nabla (x)<(q^{2}+x^{2}+|q_{1}|)\Pi \left[{\frac {q^{2}+|q_{1}|+(x+2n)^{2}}{4n^{2}}}\right]\cdot$

Or, en posant, pour abréger, $q^{2}+|q_{1}|=\lambda ,$ et associant les facteurs du produit qui correspondent à des valeurs de $n$ égales et de signe contraire, ce produit infini peut s’écrire

$\Pi \left[1+{\frac {x^{2}-\lambda ^{2}}{2n^{2}}}-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}+{\frac {(x^{2}-\lambda ^{2})^{2}}{16n^{4}}}\right],$

et il est évidemment convergent et toujours fini. Donc il en est de même de $\nabla (x).$

Dans cette démonstration j’ai supposé $x$ réel ; mais, si $x$ était imaginaire, il n’y aurait rien d’essentiel à y changer ; il suffirait d’écrire

$|q^{2}|+|q_{1}|+|x+20|^{2},$

au lieu de

$q^{2}+|q_{1}|+(x+20)^{2}.$

Donc $\nabla (x)$ est encore fini quelle que soit la valeur imaginaire de $x\,;$ c’est donc une fonction entière.

Si l’on voulait démontrer par le menu que $\nabla (x)$ jouit des autres caractères d’une fonction entière, c’est-à-dire qu’elle est continue et a une dérivée, il suffirait d’observer que le déterminant dont la limite est $\nabla (x)$ converge uniformément.

Appelons, en effet, $\nabla _{n}(x)$ le déterminant formé en prenant dans $\nabla (x)$ les $2n+1$ lignes et les $2n+1$ colonnes numérotées de $-n$ à $+n.$ On aura

$\nabla (x)=\lim \nabla _{n}(x).$

Soit alors dans le plan des $x$ un contour fermé $\mathrm {C}$ quelconque ; soit $z$ un point de ce contour et $x$ un point intérieur à ce contour. Comme $\nabla _{n}(x)$ est un polynôme entier, on aura évidemment

$2i\pi \nabla _{n}(x)=\int {\frac {\nabla _{n}(z)\,dz}{z-x}},$

l’intégrale étant prise bien entendu le long du contour C. La fonc-