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MÉTHODES DE M. GYLDÉN.

On voit que l’on a introduit ainsi des termes de la forme

$\mathrm {G} \int \mathrm {C} \,\rho \,dv_{0},\quad \mathrm {H} \iint \mathrm {C} \,\rho \,dv_{0}\,dv_{0},$

que l’on peut être amené à faire passer dans le premier membre et à transformer comme nous venons de le dire.

173.Nous avons ramené notre équation à la forme

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\mathrm {A} \,{\frac {d\rho }{dv_{0}}}+\mathrm {B} \,\rho =\mathrm {C} ,$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des fonctions connues de $v_{0}\,;$ $\mathrm {C}$ contient les fonctions inconnues et en particulier $\rho \,;$ mais nous sommes convenu d’y remplacer ces quantités d’abord par 0, puis par leurs valeurs approchées successives, de sorte que $\mathrm {C}$ peut aussi être regardée comme une fonction connue de $v_{0}.$

C’est une équation linéaire à second membre, mais on peut encore la simplifier en faisant disparaître le terme en ${\frac {d\rho }{dv_{0}}}\cdot$ Pour cela, il suffit, comme on sait, de poser

$\rho =\sigma \,e^{-\int {\frac {\mathrm {A} }{2}}\,dt},$

l’équation devient

${\frac {d^{2}\sigma }{dv_{0}^{2}}}+\mathrm {B} '\sigma =\mathrm {C} '\,;$

$\mathrm {B} '$ et $\mathrm {C} '$ étant de nouvelles fonctions connues de $v_{0}.$

En général, il suffira de conserver un seul terme dans $\mathrm {B} ',$ les autres passant dans le second membre, de sorte que l’équation sera ramenée à la forme de l’équation (6 a) du n^o 169.

174.Nous avons supposé jusqu’ici que le mouvement des trois corps se passe dans un plan. Il y aurait peu de chose à changer dans le cas où l’on voudrait tenir compte des inclinaisons des orbites.

Soient alors $r,\,v$ et $\theta ,$ le rayon vecteur, la longitude et la latitude de la première planète, les équations du mouvement seront,