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CALCUL FORMEL.

Qu’on me permette d’en citer ici encore un autre exemple qui présente quelques particularités intéressantes et qui nous sera peut-être utile dans la suite.

Soit $w_{0}$ un nombre positif plus petit que 1.

La série

(1)

$\varphi (w,\mu )=\sum {\frac {w^{n}}{1+n\mu }}$

converge pour toutes les valeurs de $w$ et de $\mu$ telles que

$|w|<w_{0},\qquad \mu \geq 0.$

De plus la convergence est absolue et uniforme.

Nous avons, d’autre part,

${\frac {w^{n}}{1+n\mu }}=\textstyle \sum _{p}w^{n}(-1)^{p}n^{p}\mu ^{p}\,;$

on peut donc être tenté d’égaler $\varphi (w,\mu )$ à la série à double entrée

$\textstyle \sum _{n}\sum _{p}w^{n}(-1)^{p}n^{p}\mu ^{p}.$

Mais cette série ne converge pas absolument.

Ordonnons-en toutefois les termes suivant les puissances croissantes de $\mu ,$ il viendra

(2)

$\mathrm {A} _{0}-\mathrm {A} _{1}\mu +\mathrm {A} _{2}\mu ^{2}-\mathrm {A} _{3}\mu ^{3}+\dots ,$

où

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{0}&=\sum w^{n}\ &\mathrm {A} _{1}&=\textstyle \sum nw^{n}\ &\mathrm {A} _{2}&=\textstyle \sum n^{2}w^{n}\ &\mathrm {A} _{3}&=\textstyle \sum n^{3}w^{n}\ &\dots &\end{aligned}}$

La série (2), ordonnée suivant les puissances croissantes de $\mu ,$ diverge. On a, en supposant $w$ réel positif pour fixer les idées,

$k^{k}w^{k}<\mathrm {A} _{k}<{\frac {k!}{(1-w)^{k}}}\cdot$

Il est clair que la série

$\sum (-k\,w\,\mu )^{k}$

diverge et qu’il en est de même a fortiori de la série (2). Mais si l’on envisage la série

$\sum {\frac {(-\mu )^{k}k!}{(1-w)^{k}}},$