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CHAPITRE XIV.

On pourra donc traiter les équations (25) comme les équations (9).

On déterminerait ensuite

${\big [}\Lambda _{2}{\big ]},\quad n_{1}^{2},\quad {\big [}\lambda _{1}{\big ]},\quad \Lambda _{2},\quad \sigma _{i}^{2}-{\big [}\sigma _{i}^{2}{\big ]},\quad \tau _{i}^{2}-{\big [}\tau _{i}^{2}{\big ]},\quad \lambda _{2}-{\big [}\lambda _{2}{\big ]},$

comme au n^o 152.

Pour déterminer

${\big [}\sigma _{i}^{2}{\big ]},\quad {\big [}\tau _{i}^{2}{\big ]}\quad$ et $\quad n_{i}'^{3},$

on se servirait des équations (7, 3, 3) et (7, 4, 3). Ces équations seraient de même forme que les équations (22) et se traiteraient de la même manière.

Cas particuliers remarquables.

156.Les développements (4) et (17) ont, comme nous l’avons vu au n^o 153, leurs seconds membres développés suivant les puissances des $x_{i}'^{0}\cos w_{i}'$ et des $x_{i}'^{0}\sin w_{i}'.$

Si nous annulons à la fois toutes les constantes arbitraires $x_{i}'^{0},$ nos variables ne dépendront plus des $w_{i}'$ mais seulement de $w_{1}$ et $w_{2}.$ Leurs développements procéderont suivant les lignes trigonométriques de

$m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2},$

$m_{1}$ et $m_{2}$ étant des entiers.

D’après ce que nous avons vu au n^o 154, dans le développement des $\Lambda$ et des $\lambda ,$ la somme $m_{1}+m_{2}$ doit être nulle, de sorte que ces variables dépendront seulement de $w_{1}-w_{2}.$ Il en sera de même pour la même raison de

(26)

$\left\{{\begin{aligned}\sigma _{i}\cos w_{1}&+\tau _{i}\sin w_{1},\\\tau _{i}\cos w_{1}&-\sigma _{i}\sin w_{1}.\end{aligned}}\right.$

Il en résulte évidemment que ces hypothèses particulières $(x_{i}'^{0}=0)$ correspondent au cas d’une solution périodique et il est aisé de voir que les solutions ainsi trouvées ne diffèrent pas de celles que nous avons appelées au Chapitre III solutions périodiques de la première sorte.

On peut en conclure que les développements (4) qui ne sont