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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.

développables selon les puissances de $\mu$ et nous pourrons écrire

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{p}\mathrm {L} _{p},&{\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda '}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{p}\mathrm {L} _{p}',\\{\frac {d\mathrm {F} }{d\Lambda }}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{p}l_{p},&-{\frac {d\mathrm {F} }{d\Lambda '}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{p}l_{p}',\\{\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{p}\mathrm {S} _{i}^{p},&-{\frac {d\mathrm {F} }{d\sigma _{i}}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{p}\Theta _{i}^{p},\end{aligned}}$

équations analogues aux équations (9) et (10) du n^o 127 et à d’autres équations rencontrées au numéro précédent.

Poursuivons toujours le calcul comme au numéro précédent et posons

${\textstyle \sum }_{k}\,{\frac {d\Lambda }{dw_{k}}}=\Sigma '\mu ^{p}n_{k}^{0}{\frac {d\Lambda _{p}}{dw_{k}}}+\Sigma \mu ^{p}n_{k}^{p}{\frac {d\Lambda _{0}}{dw_{k}}}-\Sigma \mu ^{p}\mathrm {Z} _{p},$

équations où les signes $\Sigma$ et $\Sigma '$ ont même sens que dans l’équation (4) du numéro précédent et à laquelle il faut adjoindre d’autres équations où les lettres

$\Lambda ,\quad \Lambda _{p},\quad \Lambda _{0},\quad \mathrm {Z} _{p}$

sont remplacées par les mêmes lettres accentuées ou par

$\lambda ,\quad \lambda _{p},\quad \lambda _{0},\quad \mathrm {T} _{p},$

ou par les mêmes lettres accentuées, ou par

$\sigma _{i},\quad \sigma _{i}^{p},\quad \sigma _{i}^{0},\quad \mathrm {S} _{i}^{p},$

ou enfin par

$\tau _{i},\quad \tau _{i}^{p},\quad \tau _{i}^{0},\quad \mathrm {T} _{i}^{p}.$

On voit qu’il faut éviter de confondre les lettres $\mathrm {Z} _{p}$ et $\mathrm {Z} _{i}^{p},\,$ $\mathrm {T} _{p}$ et $\mathrm {T} _{i}^{p}.$

Nous poserons de même

${\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}'{\frac {d\Lambda }{dw_{k}'}}=\Sigma '\mu ^{p}n_{k}'^{1}{\frac {d\Lambda _{p-1}}{dw_{k}'}}+\Sigma \mu ^{p}n_{k}'^{p}{\frac {d\Lambda _{0}}{dw_{k}'}}-\Sigma \mu ^{p}\mathrm {U} _{p},$

équation où les signes $\Sigma$ et $\Sigma '$ ont même sens que dans l’équation (5) du numéro précédent et à laquelle il convient d’adjoindre d’autres équations de même forme où les lettres

$\Lambda ,\quad \Lambda _{p-1},\quad \Lambda _{0},\quad \mathrm {U} _{p}$