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CHAPITRE XIV.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Les $\Lambda _{k},\,\Lambda _{k}',\,\lambda _{k},\,\lambda _{k}',\,\rho _{i}^{k},\,\omega _{i}^{k}$ sont des fonctions périodiques des $w$ et des $w',$ sauf le cas de $k=0\,;$ $\Lambda _{0},$ $\Lambda _{0}'$ et les $\rho _{i}^{0}$ sont des constantes ; $\lambda _{0}$ et $\lambda _{0}'$ se réduisent à $w_{1}$ et $w_{2}$ et $\omega _{i}^{0}$ à $w_{i}'.$

Si nous adoptons les variables (1) on aura de même

(4′)

${\begin{aligned}\sigma _{i}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\sigma _{i}^{k},&\tau _{i}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\tau _{i}^{k},\end{aligned}}$

où $\sigma _{i}^{k}$ et $\tau _{i}^{k}$ seront des fonctions périodiques des $w$ et des $w',$ et il viendra, si l’on égale pour abréger à $x_{i}^{0}$ la constante ${\sqrt {2\rho _{i}^{0}}},$

${\begin{alignedat}{3}\sigma _{i}^{0}&={\sqrt {2\rho _{i}^{0}}}\cos \omega _{i}^{0}&{}={}&x_{i}^{0}\cos w_{i}',\\\tau _{i}^{0}&={\sqrt {2\rho _{i}^{0}}}\sin \omega _{i}^{0}&{}={}&x_{i}^{0}\sin w_{i}'.\end{alignedat}}$

J’ajoute que

$\Lambda \,d\lambda +\Lambda '\,d\lambda '+{\textstyle \sum }\,\rho _{i}\,d\omega _{i}$

devant être une différentielle exacte, il en sera de même de

$\Lambda \,d\lambda +\Lambda '\,d\lambda '+{\textstyle \sum }\,\sigma _{i}\,d\tau _{i}$

puisque

${\textstyle \sum }\,\sigma _{i}\,d\tau _{i}={\textstyle \sum }\,\rho _{i}\,d\omega _{i}+{\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\,d(\sigma _{i}\tau _{i}).$

Si nous donnons à $w_{i},\,w_{i}',\,n_{i},\,n_{i}',\,\ldots$ le même sens que dans le numéro précédent, nos équations vont s’écrire

(5)

${\textstyle \sum }\,n_{k}{\frac {d\Lambda }{dw_{k}}}+{\textstyle \sum }\,n_{k}'{\frac {d\Lambda }{dw_{k}'}}={\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }},$

équation analogue à l’équation (3) du numéro précédent comme les développements (4) sont analogues aux développements (2) du numéro précédent.

À l’équation (5) il faut naturellement en adjoindre d’autres où les lettres $\Lambda$ et $\lambda$ sont respectivement remplacées par $\Lambda '$ et $\lambda ';$ $\lambda$ et $-\Lambda ,$ $\Lambda '$ et $-\Lambda ',$ $\sigma _{i}$ et $\tau _{i},$ $\tau _{i}$ et $-\sigma _{i}.$ J’ajoute que le nombre des paramètres $w$ est de 2 dans le Problème des trois Corps et de $n-1$ dans le Problème des $n$ Corps ; tandis que le nombre des paramètres $w'$ est de 4 dans le Problème des trois Corps, de $2n-2$ dans le Problème des $n$ Corps dans l’espace, et seulement de $n-1$ dans le Problème des $n$ Corps dans le plan.

Substituons les développements (4) et ceux des $n_{i}$ et des $n_{i}'$ dans les équations (5), les deux membres de ces équations deviendront