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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.
Mais, par hypothèse, 
ne dépend que des 
et des 
par
conséquent les dérivées de 
par rapport à 
sont nulles. D’où
cette conclusion :
Les termes (12) qui entrent dans le second membre de la première
équation (11) ne dépendent que de
![{\displaystyle y_{k}^{1}-[y_{k}^{1}],\quad x_{k}^{1}-[x_{k}^{1}],\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f49397bc8dc77cf8348623f7ce057f44e3d1527d)
qui sont connus, et non pas de ![{\displaystyle [y_{k}^{1}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4698fe4efa517c8be0a418502b9afe1ebc9c9e8d)
![{\displaystyle [x_{k}^{1}],\,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b7b32cc9304a77ed636742fd368099d1a7c0528)
qui sont inconnus.
![{\displaystyle {\big [}\mathrm {X} _{i}'^{2}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a12a2a4da320984824f6a9e649553a16cdd075f)
est donc une fonction connue des 
et nous pouvons, par
conséquent, déduire de là la valeur de ![{\displaystyle [x_{i}'^{1}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8d43eabe90192b2839725b930a015809555559e)
à une condition toutefois, c’est que
![{\displaystyle {\big [}{\big [}\mathrm {X} _{i}'^{2}{\big ]}{\big ]}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14abb8eb2edbdd7604ec9104db0208de7a376d60)
Cette condition doit être remplie d’elle-même, puisque nous
savons d’avance que le développement est possible.
Pour la même raison, ![{\displaystyle {\big [}\mathrm {Y} _{i}'^{2}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656234c791360660c41f9427357e11a606097b64)
est une fonction connue ; en effet,
nous connaissons maintenant ![{\displaystyle [x_{k}^{1}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d7de71e8413ab7d02adc24038e6750dd384cddc)
![{\displaystyle [x_{k}'^{1}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03eeb63ceb4bef2e4c12e9f96e1c5e0bfdceab4b)
mais nous ne connaissons
pas encore ![{\displaystyle [y_{k}^{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea6874a56fd6a199138e1922ae4f593ee94c7e2)
ni ![{\displaystyle [y_{k}'^{1}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad4a9c47ffed14954874830f84f3f2290cb41bd)
Or les termes de qui dépendent
de et de ![{\displaystyle [y_{k}'^{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7efddba71d04ed253ef42e85046ad5b75b79b95a)
s’écrivent
![{\displaystyle -{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{dx_{i}'^{0}\,dw_{k}}}[y_{k}^{1}]-{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{\star }}{dx_{i}'^{0}\,dw_{k}'}}[y_{k}'^{1}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b1857085e9439f5b2201a540c82b90171f30343)
et, comme ne dépend pas des 
ni des 
ils sont nuls et la
seconde équation (11), jointe à
![{\displaystyle {\big [}{\big [}\mathrm {Y} _{i}'^{2}{\big ]}{\big ]}=n_{i}'^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f8ca24b4ad4b9ca36b65358e13fae925865bdaa)
nous donnera 
et ![{\displaystyle [y_{i}'^{1}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4292c038d70fcafe1408248bd13b11871ce36085)
Ayant ainsi déterminé ![{\displaystyle [x_{i}'^{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/571ac1596b45da091317d38f4a1d4737de3d27dc)
et ![{\displaystyle [y_{i}'^{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17523fc9f2f909629b8ea2037c9c7548cd6c1ee7)
à l’aide des équations
(7, 3, 2) et (7, 4, 2), je veux dire de la 3e et de la 4e équation (7),
où l’on a fait 
occupons-nous de déterminer ![{\displaystyle [x_{i}^{2}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f0a29c6a64ae974994df8206fd3277fabdb135)
La manière la plus simple est de se servir de ce fait que l’expression
doit être une différentielle exacte.
Si dans cette expression nous remplaçons 
par leurs
développements (2), le coefficient de chacune des puissances de 
