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CHAPITRE XIV.

choisies de ces constantes, ce qui se verrait par un raisonnement tout pareil à celui du n^o 126. On a de plus

${\begin{aligned}w_{i}&=n_{i}t+\varpi _{i},&w'_{i}&=n'_{i}t+\varpi '_{i}\,;\end{aligned}}$

les $\varpi _{i}$ et les $\varpi '_{i}$ sont des constantes d’intégration ; tes $n_{i}$ et les $n'_{i}$ sont développables suivant les puissances de $\mu ,$ de sorte que

${\begin{aligned}n_{i}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}n_{i}^{k},&n'_{i}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}n_{i}'^{k}\end{aligned}}$

avec

${\begin{aligned}n_{i}^{0}&\gtrless 0,&n_{i}'^{0}=0.\end{aligned}}$

La possibilité d’un pareil développement étant établie par le n^o 134, je me propose d’en calculer directement les coefficients.

À cet effet, je suppose que, dans les équations (1), on substitue les développements (2) et que, par conséquent, on ne regarde plus nos variables comme exprimées directement en fonctions du temps, mais comme dépendant du temps par l’intermédiaire des $w_{i}$ et des $w'_{i}\,;$ ces équations (1) deviendront

(3)

$\left\{{\begin{aligned}{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}+{\textstyle \sum }_{k}\,n'_{k}{\frac {dx_{i}}{dw'_{k}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}&,\\.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &,\end{aligned}}\right.$

Après la substitution des développements (2), il viendra d’ailleurs

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\mathrm {X} _{i}^{k},&-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\mathrm {Y} _{i}^{k},\end{aligned}}$

équations analogues aux équations (9) et (10) du n^o 127, et de même

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} }{dy'_{i}}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\mathrm {X} _{i}'^{k},&-{\frac {d\mathrm {F} }{dx'_{i}}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\mathrm {Y} _{i}'^{k}.\end{aligned}}$

Les $\mathrm {X} _{i}^{k},\,\mathrm {Y} _{i}^{k},\,\mathrm {X} _{i}'^{k},\,\mathrm {Y} _{i}'^{k}$ seront des fonctions des $w_{i},$ des $x_{i}^{k},$ des $y_{i}^{k},$ des $x_{i}^{0}$ et des mêmes lettres accentuées. Elles seront périodiques par rapport aux $w$ et aux $w'.$

Recherchons, comme dans le n^o 127, de quelles variables dépendent toutes ces quantités. Comme

${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dy_{i}}}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx'_{i}}}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dy'_{i}}}=0,$