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CHAPITRE XII.

au lieu de

${\begin{array}{cccc}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi ,&\xi ',\\\lambda ,&\lambda ',&\eta ,&\eta ',\end{array}}$

la forme canonique des équations ne sera pas altérée. Il vient alors

${\begin{alignedat}{5}\Lambda \,&={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda }}&{}-{}&\xi _{1}{\frac {d\mathrm {C} }{d\lambda }}&{}-{}&\xi '_{1}{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda }}&{}+{}&\eta {\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda }}&{}+{}&\eta '{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda }},\\\Lambda '&={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda '}}&{}-{}&\xi _{1}{\frac {d\mathrm {C} }{d\lambda '}}&{}-{}&\xi '_{1}{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda '}}&{}+{}&\eta {\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda '}}&{}+{}&\eta '{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda '}}\,;\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}\eta _{1}&=\eta \;-\mathrm {C} ,&\eta '_{1}&=\eta '\,-\mathrm {C} ',\\\xi \;&=\xi _{1}+\mathrm {B} ,&\xi '\,&=\xi _{1}'+\mathrm {B} '.&\end{aligned}}$

Quand on fait

$\xi _{1}=\xi _{1}'=\eta _{1}=\eta _{1}'=0,$

$\xi ,\,\xi ',\,\eta$ et $\eta '$ se réduisent respectivement à $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {B} ',$ $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '.$ Je veux que $\Lambda$ et $\Lambda '$ se réduisent de leur côté à $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} '.$ Cela entraîne les conditions

(8)

$\left\{{\begin{alignedat}{4}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda }}&=\mathrm {A} &{}-{}&\mathrm {C} {\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda }}&{}-{}&\mathrm {C} '{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda }},\\{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda '}}&=\mathrm {A} '&{}-{}&\mathrm {C} {\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda '}}&{}-{}&\mathrm {C} '{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda '}}\cdot \end{alignedat}}\right.$

Ces deux équations sont compatibles et déterminent $\mathrm {S} _{0},$ pourvu que les valeurs auxquelles elles conduisent pour les dérivées de $\mathrm {S} _{0}$ satisfassent à la condition d’intégrabilité

${\frac {d}{d\lambda '}}\left({\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda }}\right)-{\frac {d}{d\lambda }}\left({\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda '}}\right)=0.$

Or cette condition s’écrit

${}{\frac {d\mathrm {A} }{d\lambda '}}-{\frac {d\mathrm {A} '}{d\lambda }}-{\frac {d\mathrm {C} }{d\lambda '}}{\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda }}+{\frac {d\mathrm {C} }{d\lambda }}{\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda '}}-{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda '}}{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda }}+{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda }}{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda '}}=0.$

Si l’on tient compte des équations (6) et si l’on observe que $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {T}$ et $\mathrm {U}$ ne dépendent que de $\lambda -\lambda ',$ il viendra

$-{\frac {d\mathrm {A} }{d\lambda }}-{\frac {d\mathrm {A} '}{d\lambda }}+\mathrm {T} {\frac {d\mathrm {T} }{d\lambda }}+\mathrm {U} {\frac {d\mathrm {U} }{d\lambda }}+\mathrm {T} '{\frac {d\mathrm {T} '}{d\lambda }}+\mathrm {U} '{\frac {d\mathrm {U} '}{d\lambda }}=0,$

ce qui veut dire que l’on doit avoir pour la solution périodique

$\mathrm {A} +\mathrm {A} '-{\frac {\mathrm {T} ^{2}+\mathrm {U} ^{2}+\mathrm {T} '^{2}+\mathrm {U} '^{2}}{2}}=\mathrm {const.} ,$