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C’est un produit de $n$ facteurs ; faisons-y

$t_{1}=t_{2}=\ldots =t_{n}=t$.

Le monome deviendra

$t^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n}}=t^{\mathrm {K} }$,

et le polynome $\Pi$ se réduira à

$(t+t^{2}+\ldots +t^{6})^{n}$.

Soit N le nombre des cas favorables ; il y a N monomes égaux à $t^{\mathrm {K} }$, leur somme est $\mathrm {N} t^{\mathrm {K} }$, et si l’on fait pour toutes les valeurs possibles de $\mathrm {K}$

$\Sigma \ \mathrm {N} t^{\mathrm {K} }=\Pi$.

La probabilité demandée est ${\frac {\mathrm {N} }{6^{n}}}$.

La valeur de $\mathrm {N}$ est facile à calculer.

Il est la puissance $n$^e d’une somme de termes en progression géométrique

$\Pi =\left({\frac {t-t^{7}}{1-t}}\right)^{n}=(t-t^{7})^{n}(1-t)^{-n}$ ;

$(t-t^{7})^{n}$ et $(1-t)^{-n}$ peuvent se développer par la formule du binome ; en faisant le produit des deux développements, j’aurai le coefficient de $t^{\mathrm {K} }$, c’est-à-dire $\mathrm {N}$.

Reprenons le cas de deux dés. Il devient $(t-t^{7})^{2}(1-t)^{-2}$, et l’on a

$(t-t^{7})^{2}=t^{2}-2t^{8}+t^{14}$,

$(1-t^{7})^{-2}=1+2t+3t^{2}+\ldots$

Évaluons le coefficient de $t^{\mathrm {K} }$ en faisant le produit de ces deux développements. D’abord, $\mathrm {K}$ ne peut dépasser 12 ; puis