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La probabilité pour que $\mathrm {B}$ se produise, si $\mathrm {A}$ s’est produit, est
$(\mathrm {B}$ si $\mathrm {A} )$                               $p_{7}={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$.

La probabilité pour que $\mathrm {B}$ se produise, si l’on sait que $\mathrm {A}$ ne s’est pas produit, est
$(\mathrm {B}$ si $\mathrm {A'} )$                              $p_{8}={\frac {\gamma }{\gamma +\delta }}$.

12. Les théorèmes annoncés se réduisent à de simples identités.

Examinons $p_{1}$, $p_{2}$, $p_{3}$, $p_{4}$. On a

$p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}$,

$p_{4}={\frac {\alpha }{\alpha +\beta +\gamma +\delta }}={\frac {\alpha }{\alpha +\gamma }}{\frac {\alpha +\gamma }{\alpha +\beta +\gamma +\delta }}=p_{2}p_{5}$;

de même

$p_{4}=p_{1}p_{7}$.

Ainsi la somme des probabilités pour que $\mathrm {A}$ se produise et pour que $\mathrm {B}$ se produise est égale à la somme des probabilités pour que l’un des deux au moins se produise et pour que tous les deux se produisent

$(\mathrm {A} )+(\mathrm {B} )=(\mathrm {A}$ ou $\mathrm {B} )+(\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} )$.

La probabilité pour que $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ se produisent tous deux est égale à la probabilité pour que $\mathrm {B}$ se produise, multipliée par la probabilité pour que $\mathrm {A}$ se produise, quand on sait que $\mathrm {B}$ s’est produit.

Ou, inversement, elle est égale à la probabilité pour que $\mathrm {A}$ se produise, multipliée par la probabilité pour que $\mathrm {B}$ se produise, quand on suppose que $\mathrm {A}$ doit se produire.

$(\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} )=(\mathrm {B} )(\mathrm {A}$ si $\mathrm {B} )=(\mathrm {A} )(\mathrm {B}$ si $\mathrm {A} )$.