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ARITHMÉTIQUES.

Pour trouver un quarré congru à un nombre donné de la forme $8k+1$ , suivant le module $2^{n}$ on peut employer une méthode semblable à celle du n^o 101, ou suivre le procédé du n^o 88. Pour les nombres pairs, on peut faire usage de ce que nous avons dit généralement n^o 102.

104. Pour ce qui regarde le nombre de valeurs différentes, c’est-à-dire incongrues suivant le module, que peut admettre l’expression $V={\sqrt {A}}{\pmod {p^{n}}}$ , pourvu que $A$ soit un résidu de $p^{n}$ , on déduit facilement de ce qui précède, les conclusions suivantes. Nous supposons toujours que $p$ est un nombre premier et, pour abréger, nous considérons en même temps le cas où $n=1$ .

1^o . Si $A$ n’est pas divisible par $p$ , $V$ n’a qu’une seule valeur pour $p=2$ et $n=1$ ; ce sera $V\equiv 1$ ; il en a deux quand $p$ est impair, ou bien quand on a $p=2$ et $n=2$ ; et, si l’une est $\equiv \nu$ , l’autre sera $\equiv -\nu$ ; il en a quatre pour $p=2$ et $n>2$ ; et si l’une est $\equiv \nu$ les autres seront $\equiv \nu +2^{n-1}$ , $-\nu +2^{n-1},$ $-\nu$ .

2^o . Si $A$ est divisible par $p$ , mais non par $p^{n}$ , soit $p^{2\mu }$ la plus haute puissance de $p$ qui divise $A$ , car cette puissance doit être paire (n^o 102), et $A=\alpha p^{2\mu }$ ; il est clair que toutes les valeurs de $V$ doivent être divisibles par $p^{\mu },$ et que tous les quotiens donnés par ces divisions seront les valeurs de l’expression $V'={\sqrt {a}}{\pmod {p^{n-2\mu }}}$ ; on aura donc toutes les valeurs différentes de $V$ , en multipliant par $p^{\mu }$ , toutes celles de $V'$ contenues entre $0$ et $p^{n-\mu }$ . Elles seront, par conséquent, $\nu p^{\mu }$ , $\nu p^{\mu }+p^{n-2\mu }$ , $\nu p^{\mu }+2p^{n-2\mu }$ ,…… $\nu p^{\mu }+(p^{\mu }-1)p^{n-2\mu }$ , $\nu$ étant une valeur quelconque de $V$ : suivant donc que $V'$ aura $1$ , ou $2$ , ou $4$ valeurs, $V$ en aura $p^{\mu }$ , ou $2p^{\mu }$ , ou $4p^{\mu }$ (1^o.).

3^o . Si $A$ est divisible par $p^{n}$ , on voit facilement, en posant $n=2m$ ou $=2m-1$ , suivant que $n$ est pair ou impair, que tous les nombres divisibles par $p^{m}$ sont des valeurs de $V$ , et qu’il n’y en a pas d’autres ; mais les nombres divisibles par $p^{m}$ sont $0$ , $p^{m}$ , $2p^{m}$ ,… $(p^{n-m}-1)p^{m}$ dont le nombre est $p^{n-m}$ .