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ARITHMÉTIQUES.

$\pm 2axp^{\mu }\equiv A-a^{2}{\pmod {p^{\nu }}}.$ Soit $A-a^{2}=p^{\mu }.d,$ on aura $\pm 2ax\equiv d{\pmod {p^{\nu -\mu }}}\,;$ donc $x$ sera la valeur de l’expression $\pm {\frac {d}{2a}}{\pmod {p^{\nu -\mu }}}.$

Ainsi étant donné un quarré congru à $A,$ suivant le module $p,$ on en déduira un quarré congru à $A$, suivant le module $p^{2}\,;$ de là au module $p^{4},$ au module $p^{8},$ etc.

Exemple. Étant proposé le résidu $6$ congru au quarré $1,$ suivant le module $5,$ on trouve le quarré $9^{2}$ auquel il est congru suivant le module $25,$ $16^{2}$ auquel il est congru suivant le module $125,$ etc.

102. Quant à ce qui regarde les nombres divisibles par $p,$ il est clair que leurs quarrés seront divisibles par $p^{2},$ et que partant tous les nombres qui seront divisibles par $p$ et non par $p^{2},$ seront non-résidus de $p^{n}.$ Et en général, si l’on propose le nombre $p^{k}A,$ $A$ n’étant pas divisible par $p,$ il y a trois cas à distinguer ;

1^o. Si $k=$ ou $>n,$ on aura $p^{k}A\equiv 0{\pmod {p^{n}}},$ c’est-à-dire qu’il sera résidu.

2^o. Si $k<n$ et impair, $p^{k}A$ sera non-résidu.

En effet, si l’on avait $p^{k}A=p^{2k'+1}A\equiv s^{2}{\pmod {p^{n}}},$ $s^{2}$ serait divisible par $p^{2k'+1},$ ce qui ne peut avoir lieu, à moins que $s$ ne le soit par $p^{k'+1}\,;$ donc alors $s^{2}$ serait aussi divisible par $p^{2k'+2},$ ce qui conduirait, à cause de $2k'+2$ non plus grand que $n,$ à $p^{k}A$ aussi divisible par $p^{2k'+2}$, et supposerait $A$ divisible par $p,$ contre l’hypothèse.

3^o. Si $k<n$ et pair, $p^{k}A$ sera résidu ou non-résidu de $p^{n},$ suivant que $A$ sera résidu ou non-résidu de $p.$ En effet, quand $A$ sera résidu de $p,$ il le sera aussi de $p^{n-k}$ (n^o précédent). Mais si l’on suppose $A\equiv a^{2}{\pmod {p^{n-k}}},$ on aura $Ap^{k}\equiv a^{2}p^{k}{\pmod {p^{n}}}\,;$ or $a^{2}p^{k}$ est un quarré. Quand au contraire $A$ est non-résidu de $p,$ $p^{k}A$ ne peut être résidu de $p^{n}.$ Supposons en effet $p^{k}A\equiv a^{2}{\pmod {p^{n}}},$ $a^{2}$ serait nécessairement divisible par $p^{k},$ et le quotient serait un quarré auquel $A$ serait congru, suivant le module $p-k,$ et parconséquent suivant le module $p,$ c’est-à-dire, que $A$ serait résidu de $p,$ contre l’hypothèse.