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ARITHMÉTIQUES.

ce point pour une autre occasion, quand peut-être nous entreprendrons de traiter plus en détail la théorie des quantités imaginaires, qui nous semble jusqu’à présent n’avoir été réduite par personne à des notions claires. Les gens instruits parviendront aisément à cet algorithme ; ceux qui sont moins exercés pourront néanmoins se servir de cette table, comme ceux qui ne sont point au fait des connaissances modernes sur les logarithmes imaginaires se servent des logarithmes, pourvu qu’ils possèdent bien les principes antérieurement établis.

92. Presque tout ce qui a rapport aux résidus des puissances, suivant un module composé de plusieurs nombres premiers, peut se déduire de la théorie générale des congruences ; mais comme nous exposerons plus bas une manière de ramener les congruences dont le module est composé de plusieurs nombres premiers, à d’autres dont le module est un nombre premier, ou une puissance d’un nombre premier, nous ne nous arrêterons pas beaucoup ici sur cette matière. Nous nous contenterons d’observer que la belle propriété qui a lieu pour les autres modules, savoir : qu’il existe toujours des nombres dont la période renferme tous les nombres premiers avec le module, n’a pas lieu ici, excepté dans le seul cas où le module est double d’un nombre premier, ou d’une puissance d’un nombre premier. En effet si l’on ramène le module $m$ à la forme $A^{a}B^{b}C^{c}$ etc., $A$, $B$, $C$, etc. étant des nombres premiers différens, qu’on fasse en outre $A^{a-1}(A-1)=\alpha$, $B^{b-1}(B-1)=\beta$, $C^{c-1}(C-1)=\gamma$, etc. et que $z$ soit un nombre premier avec $m$, on aura $z^{\alpha }\equiv 1{\pmod {A^{a}}}$, $z^{\beta }\equiv 1{\pmod {B^{b}}}$, etc. ; si donc $\mu$ est le plus petit nombre divisible par $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ etc., on aura $z^{\mu }\equiv 1$ suivant chacun des modules $A^{a}$, $B^{b}$, etc., et partant, suivant $m$ qui est égal à leur produit ; mais excepté le cas où $m$ est double d’un nombre premier ou d’une puissance d’un nombre premier, on a toujours $\mu <\alpha \beta \gamma$ etc., puisque les nombres $\alpha$, $\beta$, etc. ne peuvent être premiers entre eux, ayant au moins le diviseur commun $2$. Ainsi la période d’aucun nombre ne peut comprendre autant de termes qu’il y a de nombres premiers avec le module, et moindres que lui, puisque leur nombre est égal au produit $\alpha \beta \gamma$ etc. Ainsi, par exemple, pour $m=1001=7.11.13$, la puissance

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