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RECHERCHES

2^o . Mais si $t<p-1,$ on prendra un autre nombre $b$ qui ne soit pas contenu dans la période de $a,$ et l’on cherchera de la même manière sa période. En nommant $u$ l’exposant auquel $b$ appartient, on voit facilement que $u$ n’est ni égal à $t,$ ni une de ses parties aliquotes, car dans les deux cas on aurait $b^{t}\equiv 1,$ ce qui est impossible, la période de $a$ renfermant tous les nombres dont la puissance $t$ est congrue à l’unité (n^o 55). Or si $u=p-1,$ $b$ sera une racine primitive ; si $u$ n’est pas $=p-1,$ mais un multiple de $t,$ nous aurons encore l’avantage de connaître un nombre qui appartienne à un exposant plus grand, et partant nous approcherons de notre but, puisque nous cherchons le nombre qui appartient à l’exposant maximum ; mais si $u$ n’est ni $=p-1,$ ni multiple de $t,$ nous pouvons trouver un nombre appartenant à un exposant plus grand que $t$ et $u\,;$ cet exposant sera le plus petit nombre divisible à la fois par $t$ et $u$ . En effet, soit $y$ ce dernier nombre ; on décomposera $y$ en deux facteurs $m$ et $n$ premiers entre eux, dont l’un divise $t$ et l’autre $u$ ^[1].

Soit $a^{\frac {\epsilon }{m}}\equiv A,$ $b^{\frac {u}{n}}\equiv B{\pmod {p}},$ $AB$ appartiendra à l’exposant $y\,;$ car on voit facilement que $A$ appartient à l’exposant $m,$ $B$ à l’exposant $n,$ et parconséquent $AB$ appartiendra à l’exposant $mn$ , puisque $m$ et $n$ sont premiers entre eux, comme on peut le démontrer en suivant exactement le procédé du n^o 55.

3^o . Si $y=p-1,$ $AB$ sera une racine primitive, sinon on prendra de même un troisième nombre qui ne se trouve pas dans la période de $AB\,;$ ce nombre sera une racine primitive, ou bien il appartiendra à un exposant $>y$ ou bien enfin par son moyen on déterminera un nombre appartenant à un exposant $>y\ :$ donc, comme les nombres qui résultent de la répétition de cette opération, appartiennent à des

↑ On voit facilement par le n^o 18 comment on peut faire cette décomposition. On décomposera $y$ en facteurs qui soient des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers différens ; chacun d’eux divisera $t$ ou $u$ , ou tous les deux. On écrira sous $t$ ou sous $u$ ceux qui divisent $t$ ou $u$ . Quant à ceux qui diviseront $u$ et $t$ , peu importe sous lequel on les écrive. Si l’on fait $m=$ le produit de ceux qui sont écrits sous $t,$ $n=$ le produit de ceux qui sont écrits sous $u,$ il est évident que $m$ divisera $t,$ que $n$ divisera $u$ et que $mn=y.$

[1] On voit facilement par le n^o 18 comment on peut faire cette décomposition. On décomposera $y$ en facteurs qui soient des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers différens ; chacun d’eux divisera $t$ ou $u$ , ou tous les deux. On écrira sous $t$ ou sous $u$ ceux qui divisent $t$ ou $u$ . Quant à ceux qui diviseront $u$ et $t$ , peu importe sous lequel on les écrive. Si l’on fait $m=$ le produit de ceux qui sont écrits sous $t,$ $n=$ le produit de ceux qui sont écrits sous $u,$ il est évident que $m$ divisera $t,$ que $n$ divisera $u$ et que $mn=y.$

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