Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/68

46

RECHERCHES

s’énonce ordinairement ainsi : Si $\mathrm {p}$ est un nombre premier de la forme $\mathrm {4m+1} ,$ on peut trouver un quarré $\mathrm {a^{2}}$ qui rende $\mathrm {a^{2}+1}$ divisible par $\mathrm {p} \,;$ mais si $\mathrm {p}$ est de la forme $\mathrm {4m-1} ,$ on ne le pourra pas, a été démontré de cette manière par Euler (Comment. nov. Ac. Petrop. T. XVIII, p. 112, 1773). Il en avait donné une autre démonstration bien antérieurement (Comm. nov. T. v, p. 5, 1760) ; dans une première dissertation (T. iv, p. 25), il n’était pas encore parvenu au but. Lagrange a depuis donné aussi une démonstration de ce théorème (Nouv. Mém. de l’Ac. de Berlin. 1775, p. 342). Nous en exposerons encore une différente dans la section suivante, qui sera consacrée à ce genre de considérations.

65. Après avoir examiné comment on peut réduire toutes les expressions ${\sqrt[{n}]{A}}{\pmod {p}}$ à d’autres dans lesquelles $n$ soit diviseur de $p-1$, et après avoir trouvé le caractère auquel on reconnaît s’il y a des racines réelles ou non, considérons avec plus de soin les expressions ${\sqrt[{n}]{A}}{\pmod {p}}$, dans lesquelles $n$ est diviseur de $p-1$. Nous ferons voir d’abord quelle est la relation qu’ont entr’elles les différentes valeurs de cette expression, ensuite nous indiquerons quelques artifices au moyen desquels on peut le plus souvent trouver une des valeurs.

1^o. Quand $A\equiv 1$, et que $r$ sera une des valeurs de l’expression ${\sqrt[{n}]{1}}{\pmod {p}}$, ou que $r^{n}\equiv 1{\pmod {p}}$, toutes les puissances de $r$ seront aussi des valeurs de cette expression ; et il y en aura autant de différentes qu’il y a d’unités dans l’exposant auquel $r$ appartient (n^o 48). Si donc $r$ est une valeur appartenant à l’exposant $n$, les puissances $r,$ $r^{2},$ $r^{3},$ $r^{4}$,…$r^{n}$ (où l’unité peut remplacer la dernière) renfermeront toutes les valeurs de l’expression ${\sqrt[{n}]{1}}{\pmod {p}}$. Nous expliquerons plus en détail dans la section VIII comment on peut trouver ces valeurs qui appartiennent à l’exposant $n$.

2^o. Quand $A$ est incongru à l’unité, et que l’on connaît une valeur $z$ de l’expression ${\sqrt[{n}]{A}}{\pmod {p}}$, on trouve les autres de la manière suivante : soient $1$, $r$, $r^{2}$, $r^{3}$, …, $r^{n-1}$ les valeurs de ${\sqrt[{n}]{1}}$, on aura $z$, $zr$, $zr^{2}$, $zr^{3}$…$zr^{n-1}$ pour les valeurs de ${\sqrt[{n}]{A}}$ ; car il est évident que tous ces nombres satisferont à la congruence $x^{n}\equiv A$ ; puis-