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ARITHMÉTIQUES

donnât les indices de tous les nombres pour différens modules, nous pourrions nous dispenser de tenir compte de tous les nombres plus grands que le module et de tous les nombres composés. On trouvera à la fin de cet ouvrage un essai de cette table (Tab. I). Dans la première colonne sont rangés les nombres premiers et les puissances de nombres premiers depuis $3$ jusqu’à $97$ , qui doivent être regardés comme des modules : à côté de chacun d’eux, dans la colonne suivante, les nombres pris pour bases ; suivent alors les indices des nombres premiers successifs, qui sont écrits par tranches composées de cinq chacune ; en tête se trouvent les nombres premiers disposés dans le même ordre. Desorte qu’on peut trouver facilement l’indice qui répond à un nombre premier donné, suivant un module donné.

Soit par exemple $p=67$ ; l’indice de $60$ , en prenant $12$ pour base, sera

\equiv 2\operatorname {Ind.} 2+\operatorname {Ind.} 3+\operatorname {Ind.} 5{\pmod {66}}\equiv {58}+9+39\equiv 40.

59. L’indice de la valeur d’une expression quelconque ${\frac {a}{b}}{\pmod {p}}$ , (n^o 31) est congru suivant le module $p-1$ , à la différence des indices du numérateur $a$ et du dénominateur $b$ , pourvu que les nombres $a$ et $b$ ne soient pas divisibles par $p$ .

Soit en effet $c$ une valeur quelconque de cette expression ; on aura $bc\equiv a{\pmod {p}}$ ; donc $\operatorname {Ind.} b+\operatorname {Ind.} c\equiv \operatorname {Ind.} a{\pmod {p-1}}$ , et

\operatorname {Ind.} c\equiv \operatorname {Ind.} a-\operatorname {Ind.} b.

Si donc on a deux tables, dont l’une donne les indices qui répondent à chaque nombre pour un module quelconque, et dont l’autre donne les nombres qui répondent à des indices donnés, on pourra résoudre facilement toutes les congruences du premier degré, puisqu’on peut toujours les ramener à d’autres dont les modules soient premiers (n^o 30).

Soit par exemple la congruence $29x+7\equiv 0{\pmod {47}}$ , on aura $x\equiv {\frac {-7}{29}}{\pmod {47}}$ .
De là

\operatorname {Ind.} x\equiv \operatorname {Ind.} -7-\operatorname {Ind.} {29}\equiv \operatorname {Ind.} 40-\operatorname {Ind.} 29\equiv 15-43\equiv 18{\pmod {46}}\ ;

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