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ARITHMÉTIQUES

puissance $e$ de $a^{k}$ était congrue à l’unité, et que l’on eût $e<d,$ on aurait aussi $a^{kme},$ et parconséquent $a^{e}\equiv 1\ ;$ ce qui est contre l’hypothèse. Il est évident, d’après cela, que le résidu minimum de $a^{k}$ appartiendra à $d$ ; mais si $k$ a un commun diviseur $\delta$ avec $d$, le résidu minimum de $a^{k}$ n’appartiendra pas à l’exposant $d.$ Car ${\frac {kd}{\delta }}$ est divisible par $d$, ou bien ${\frac {kd}{\delta }}\equiv 0{\pmod {d}}\ ;$ parconséquent $a^{\frac {kd}{\delta }}\equiv 1\ ;$ c’est-à-dire $(a^{k})^{\frac {d}{\delta }}\equiv 1.$ Nous conclurons de là qu’il y a autant de nombres appartenans à l’exposant $d$, qu’il y a de nombres premiers avec $d$ dans la série $1,\ 2,\ 3\dots d.$ Mais il faut se souvenir que cette conclusion suppose qu’il existe déjà un nombre $a$ appartenant à l’exposant $d\ ;$ parconséquent il reste douteux s’il ne pourrait pas se faire qu’aucun nombre n’appartînt à un exposant donné, et la conclusion se réduit à $\psi d=0,$ ou $=\varphi d.$

54. 2^o . Soient $d,\ d',\ d'',$ etc. les diviseurs de $p-1\ ;$ comme tous les nombres $1$, $2$, $3$,… $p-1$ doivent être distribués entre ces diviseurs, on aura, $\psi d+\psi d'+\psi d''\ +\ {\text{etc}}.=p-1$. Mais (n^o 40) nous avons démontré que $\varphi d+\varphi d'+\varphi d''\ +\ {\text{etc}}.=p-1$, et du n^o précédent il suit que $\psi d=0$ ou $=\varphi d$ ; et parconséquent que $\psi d$ ne peut pas être $>\varphi d$ ; ce qui s’étend à $\psi d'$ et $\varphi d'$, etc. Si donc un ou plusieurs des nombres $\psi d$, $\psi d''$, etc. étaient plus petits que leurs correspondants parmi les nombres $\varphi d,$ $\varphi d',$ etc., la somme des premiers ne pourrait être égale à la somme des derniers. D’où nous concluons enfin que dans tous les cas, $\psi d=\varphi d,$ et que parconséquent ne dépend point de la grandeur de $p-1.$

55. Il y a un cas particulier de la proposition précédente qui mérite de fixer notre attention ; le voici : il existe toujours des nombres dont aucune puissance plus petite que $\mathrm {p-1}$ n’est congrue à l’unité ; il y en a même autant entre $1$ et $p-1,$ qu’il y a au-dessous de $p-1$ de nombres qui lui soient premiers. Comme il s’en faut bien que la démonstration de ce théorème soit aussi évidente qu’elle le paraît d’abord, nous en donnerons une un peu différente de celle qui précède, d’autant plus que la diversité des méthodes aide beaucoup à jeter du jour sur les points les plus obscurs.