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ARITHMÉTIQUES

SECTION TROISIÈME.

Des Résidus des Puissances.

45. Théorème. Dans toute progression géométrique $1,$ $\mathrm {a} ,$ $\mathrm {a} ^{2},$ $\mathrm {a} ^{3},$ etc., outre le premier terme $1,$ il y en a encore un autre $\mathrm {a} ^{\mathrm {t} }$ congru à l’unité suivant le module $\mathrm {p}$ premier avec $\mathrm {a} ,$ l’exposant $\mathrm {t}$ étant $<\mathrm {p.}$

Puisque le module $p$ est premier avec $a,$ et parconséquent avec une puissance quelconque de $a,$ aucun terme de la progression ne sera $\equiv 0{\pmod {p}}$ mais chacun d’eux sera congru à quelqu’un des nombres $1,$ $2,$ $3,$ $4\dots$ $p-1$. Comme le nombre de ces derniers est $p-1,$ il est évident que si l’on considère plus de $p-1$ termes de la progression, ils ne pourront pas avoir tous des résidus minima différens. Ainsi parmi les nombres $1,$ $a,$ $a^{2},$ $a^{3}\dots$ $a^{p-1},$ on en trouvera au moins deux congrus. Soit donc $a^{m}\equiv a^{n}$ et $m>n,$ on aura, en divisant par $a^{n}$ (n^o 22), $a^{m-n}\equiv 1,$ où $m-n<p$ et $>0.$

Exemple. Dans la progression $1,$ $2,$ $4,$ $8,$ etc. le premier terme qui est congru avec l’unité suivant le module $13,$ se trouve être $2^{12}=4096$, mais suivant le module $23,$ on a dans la même progression, $2^{11}=2048\equiv 1\,;$ de même $5^{6}=15625\equiv 1{\pmod {7}}\,;$ et $5^{5}=3125\equiv 1{\pmod {7}}.$ Ainsi dans quelques cas la puissance de $a$ congrue avec l’unité, est plus petite que $a^{p-1},$ et dans d’autres, il faut remonter jusqu’à la puissance $p-1$ elle-même.

46. Quand la progression est continuée au delà du terme qui est congru à l’unité, on retrouvera les mêmes résidus qu’on avait à partir du commencement. Ainsi, soit $a^{t}\equiv 1,$ on aura $a^{t+1}\equiv a,$ $a^{t+2}\equiv a^{2},$ etc., jusqu’à ce qu’on parvienne au terme $a^{2t}$ dont le résidu minimum sera de nouveau $\equiv 1,$ et la période des résidus