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NOTES DU TRADUCTEUR.

ou ${\frac {\beta +\beta '}{\delta +\delta '}}$, et prenons pour $m$ et $p$ les termes de ce rapport réduit à sa plus simple expression.

On aura évidemment dans tous les cas des nombres entiers pour $m'$ et $p'$, si l’on fait $q=\mu h$ ; $n=\pi h$, où $h$ est indéterminé jusqu’à présent. Cette supposition change l’équation $mq-np=h$ en $m\mu -p\pi =1$ qui servira à trouver $\mu$ et $\pi$.

Quant à $p'$ et $q'$ au moyen des valeurs de $a$, $b$, $c$, $d$ ou $-a$, on tire facilement par l’élimination

$\alpha 'e=-(\gamma b+\alpha a),\;\beta 'e=-(\delta b+\beta a),\;\gamma 'e=\gamma a-\alpha c,\;\delta 'e=\delta a-\beta c\,;$

or à l’aide des équations (5), on a

$p'h$	$=\gamma m-\alpha p$	$=\gamma m-{\frac {\alpha (a+e)m}{b}}$
	$={\frac {1}{b}}(\gamma b+\alpha a+\alpha e)m$	$={\frac {(\alpha -\alpha ')me}{b}}$
	$={\frac {\gamma (a-e)p}{b}}-\alpha p$	$={\frac {1}{c}}(\gamma a-\alpha e-\gamma e)p$
	$=-{\frac {(\gamma -\gamma ')pe}{c}}$ ;

On trouverait de même

$q'h={\frac {(\beta -\beta ')me}{b}}$,——$q'h={\frac {(\delta -\delta ')pe}{c}}.$

Si $r$ est le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $b$, $c$, et partant des nombres $b$, $c$, $e$, comme il est aisé de le prouver par l’équation $a^{2}+bc=e^{2}$ un des nombres ${\frac {b}{r}}$, ${\frac {e}{r}}$ sera premier avec ${\frac {e}{r}}$. Supposons que ce soit ${\frac {b}{r}}$ ; comme on a

$p'h={\frac {(\alpha -\alpha ')m{\frac {e}{r}}}{\frac {b}{r}}}$,——et——$q'h={\frac {(\beta -\beta ')m{\frac {e}{r}}}{\frac {b}{r}}},$

il s’ensuit que $(\alpha -\alpha ')m$ est divisible par ${\frac {b}{r}}$, ainsi que $(\beta -\beta ')m$, puisque $p'h$ et $q'h$ sont essentiellement entiers. Donc en prenant $h={\frac {e}{r}}$, $p'$ et $q'$ seront entiers.

D’ailleurs des valeurs précédentes de $p'h$, on tire $\alpha '-\alpha '={\frac {b}{me}}p'h$, $\gamma '-\gamma '=-{\frac {c}{pe}}p'h$, et comme $\gamma 'm-\alpha 'p=-p'h$, la première des équations (4) devient ${\frac {b}{me}}q+{\frac {c}{pe}}=-k$, ou, puisque $q=\mu h=\mu {\frac {e}{r}}$, $n=\pi h=\pi {\frac {e}{r}}$, ${\frac {b}{mr}}\mu +{\frac {c}{pr}}\pi =-k.$ Mais on a ${\frac {m}{p}}=-{\frac {d+e}{c}}=-{\frac {b}{a+e}}=-{\frac {{\frac {d}{r}}+{\frac {e}{r}}}{\frac {c}{r}}}=-{\frac {\frac {b}{r}}{{\frac {a}{r}}+{\frac {e}{r}}}}$, et partant ${\frac {c}{r}}$ est divisible par $p>$, et ${\frac {b}{r}}$ par $m$, ou bien et ${\frac {c}{pr}}$ et ${\frac {b}{mr}}$ sont entiers. Donc cette équation donne une valeur entière pour $k$, qui varie suivant les valeurs que l’on attribue à $\mu$ et $\pi$.

TABLE