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NOTES DU TRADUCTEUR.

${\frac {m(Ap+Br)}{A}}=t$,—${\frac {mr}{A}}=u$, —${\frac {m(Cs+Bq)}{C}}=t'$,—${\frac {mq}{C}}=u'$,

ces équations deviennent

$t^{2}-Du^{2}$,——$t'^{2}-Du'^{2}=m'^{2},$

or on a

$p={\frac {t-Bu}{m}}$,——$r={\frac {Au}{m}}$, ——$q={\frac {Cu'}{m}}$, ——$s={\frac {t'-Bu'}{m}}\,;$

substituant ces valeurs dans les équations (b) et (d), il en résulte

$Btt'$	$-D(ut'+u't)+$	$BDuu'=$	$Bm^{2}$
$tt'$	$-B(ut'+u't)+$	$Duu'=$	$m^{2}$

qui donnent $ut'+u't=0$ ; donc $u'=-{\frac {ut'}{t}}$. Cette valeur, substituée dans l’équation $tt'-Duu'=m^{2}$, donne $t=t'$, et partant $u=-u'$.

Il en résulte donc

$p={\frac {t-Bu}{m}}$,——$q=-{\frac {Cu}{m}}$, ——$r={\frac {Au}{m}}$, ——$s={\frac {t+Bu'}{m}},$

or il est aisé de démontrer que $t$, $u$ doivent être entiers, si $p$, $q$, $r$, $s$ le sont, et réciproquement.

1^o. Si $p$, $q,\,r,\,s$ sont entiers, comme il est nécessaire pour notre question, comme on tire des valeurs précédentes

$u={\frac {mr}{A}}={\frac {r}{\frac {A}{m}}}$,——$u=-{\frac {q}{\frac {C}{m}}}$, ——$u={\frac {s-p}{\frac {2B}{m}}},$

on peut en conclure

${\frac {r}{q}}={\frac {\frac {A}{m}}{\frac {C}{m}}}$,——${\frac {r}{s-p}}={\frac {\frac {A}{m}}{\frac {2B}{m}}}\,;$

mais l’une des deux fractions qui servent de second membre est nécessairement irréductible, donc $r$ est divisible par ${\frac {A}{m}}$, où ${\frac {rm}{A}}=u$ sera un nombre entier, ${\frac {mq}{C}}$ en sera un aussi ; de là il est aisé de voir que $t$ est également un nombre entier.

2^o. On démontrera, comme l’auteur le fait au même numéro (4^o.), que toutes les valeurs entières de $t,$ $u$ donneront des valeurs entières pour $p,$ $q,$ $r,$ $s.$

Il suit donc de tout ce qui précède, que la solution de notre question dépend de la résolution de l’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$ en nombres entiers, et que réciproquement une transformation d’une forme quelconque de déterminant $D$ en elle-même, fournira une solution en nombres entiers de l’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$, pourvu que $m$ soit le plus grand commun diviseur des trois coefficiens de cette forme.