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ARITHMÉTIQUES.

et que l’on fasse

$y'$	$=(x-\varphi a_{1}'\omega )(x-\varphi b_{1}'\omega )(x-\varphi c_{1}'\omega ),{\text{etc.}},$
$y''$	$=(x-\varphi a_{1}''\omega )(x-\varphi b_{1}''\omega )(x-\varphi c_{1}''\omega ),{\text{etc.}},$

on aura $Y'=y'^{2}$ , $Y''=y''^{2}$ , etc., et la fonction $Z$ elle-même sera un quarré (voyez n^o 337) dont la racine est égale à $yy'y''$ , etc. Au reste, on voit facilement que $y'$ , $y''$ , etc. se dérivent de $y$ de la même manière que $Y'$ , $Y''$ , etc. de $Y$ (I) ; et que chaque coefficient de $y$ peut aussi se ramener à la forme

A+B(f,1)+C(f,g)+D(f,g^{2}),{\text{etc.}},

puisque les sommes des puissances des racines de l’équation $y=0$ sont les moitiés des sommes des puissances des racines de l’équation $Y=0$ et partant réductibles à cette forme.

Dans les quatre autres cas, $Y$ sera le produit des facteurs $x^{2}-(\varphi \omega )^{2}$ , $x^{2}-(\varphi a_{1}\omega )^{2}$ , $x^{2}-(\varphi b_{1}\omega )^{2}$ , etc. et parconséquent de la forme

x^{f}-\lambda x^{f-2}+\mu x^{f-4}-{\text{etc.}},

les coefficiens $\lambda$ , $\mu$ , etc. peuvent se déduire de la somme des quarrés, des biquarrés, etc. des racines $\varphi \omega$ , $\varphi a\omega$ , $\varphi b\omega$ , etc., et de même pour les fonctions $Y'$ , $Y''$ , etc.

Exemple I. Soit $n=17$ , $f=8$ , et que $\varphi$ désigne le cosinus. On a

\textstyle Z=(x^{8}+{\frac {1}{2}}x^{7}-{\frac {1}{4}}x^{6}-{\frac {3}{4}}x^{5}+{\frac {15}{16}}x^{4}+{\frac {5}{16}}x^{3}-{\frac {5}{32}}x^{2}-{\frac {1}{32}}x+{\frac {1}{256}})^{2},

et il faut parconséquent décomposer ${\sqrt {Z}}$ en deux facteurs du quatrième degré $y$ et $y'$ . La période $P=(8,1)$ est composée des périodes

(2,1),\,(2,9),\,(2,13),\,(2,15),

d’où

y=(x-\varphi \omega )(x-\varphi 9\omega )(x-\varphi 13\omega )(x-\varphi 15\omega ).

Substituons ${\frac {1}{2}}[k]+{\frac {1}{2}}[n-k]$ pour $\varphi k\omega$ , et désignons indéfiniment par $S_{m}$ la somme des puissances $m$ des racines $\varphi \omega$ , $\varphi 9\omega$ , etc., nous trouverons