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ARITHMÉTIQUES.

supposons que le développement de la puissance $\beta$ de la fonction

$t=a+Rb+R^{2}c+...R^{\beta -1}m.$

soit, par ce qui a été dit (n^o 345),

$N$	$+Aa$	$+Bb$	$+Cc$……	$+Mm$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\}=T$
	$+A'a'$	$+B'b'$	$+C'c'$……	$+M'm'$
	$+A''a''$	$+B''b''$	$+C''c''$……	$+M''m''$
	$+$ etc.

où les coefficiens $N$, $A$, $B$, $A'$, etc. seront des fonctions rationnelles entières de $R$. Supposons aussi que la puissance $\beta$ des deux autres fonctions

$u=$	$R^{\beta }a$	$+Rb+R^{2}c......+R^{\beta -1}m$,
$u'=$	$b$	$+Rc+R^{2}d......+R^{\beta -2}m+R^{\beta -1}a$,

se développe en $U$ et $U'$, on verra facilement (n^o 350) que $u'$ se tirant de $t$ en changeant $a$, $b$, $c$…$m$ en $b$, $c$, $d$…$a$ respectivement, on aura

$N$	$+Ab$	$+Bc$	$+Cd$……	$+Ma$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\}=U'$ :
	$+A'b'$	$+B'c'$	$+C'd'$……	$+M'a'$
	$+A''b''$	$+B''c''$	$+C''d''$……	$+M''a''$
	$+$ etc.

d’ailleurs $u=Ru'$, ainsi $U=R^{\beta }U'$ ; et comme $R^{\beta }=1$, les coefficiens correspondans seront les mêmes dans $U$ et $U'$ ; enfin, comme $t$ et $u$ ne diffèrent qu’en ce que $a$ est multiplié par l’unité dans $t$, et dans $u$ par $R^{\beta }$, on voit facilement que les coefficiens correspondans, c’est-à-dire ceux qui multiplient les mêmes périodes, sont les mêmes dans $T$ et dans $U$, et partant dans $T$ et dans $U'$. On a donc

$A=B=C$, etc. $=M$,—$A'=B'=C'$, etc.,—$A''=B''=C''$, etc., etc.

et partant, $T$ se trouve réduit à la forme

$T=N+A(\beta \gamma ,1)+A'(\beta \gamma ,g)+A''(\beta \gamma ,g^{2})+$ etc.,

où chacun des coefficiens $N$, $A$, $A'$, etc. peut être ramené à la forme

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