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RECHERCHES

$[g^{4}]$,…$[g^{n-3}],$ et la seconde les racines $[g]$, $[g^{3}]$, $[g^{5}],\dots$ $[g^{n-2}].$ Supposons que les résidus minima positifs des nombres $g^{2}$, $g^{4}$,…$g^{n-3}$ suivant le module $n,$ soient $R$, $R'$, $R''$, etc., abstraction faite de l’ordre, et que les résidus des nombres $g$, $g^{3}$,…$g^{n-2}$, soient $N$, $N'$, $N''$, etc. ; les racines des périodes $(m,1)$ et $(m,g)$ coïncideront avec

$[1],\,[R],\,[R'],\,[R'']$, etc.,——$[N],\,[N'],\,[N'']$, etc.

respectivement. Or il est clair que tous les nombres $1$, $R$, $R'$, $R''$, etc. sont résidus quadratiques de $n$ ; comme ils sont différens, moindres que $n$ et au nombre de ${\frac {n-1}{2}}$, il s’ensuit que ce sont effectivement tous les résidus quadratiques de $n$, positifs et plus petits que lui (n^o 96). Il suit de là en même temps, que les nombres $N$, $N'$, $N''$, etc. qui sont tous différens entre eux, et des nombres $1$, $R$, $R'$, etc., et qui, joints à ces derniers, épuisent les nombres $1,$ $2,$ $3\dots$ $n-1,$ sont tous les non-résidus quadratiques positifs de $n$ et plus petits que lui. Si l’on suppose maintenant que l’équation dont $(m,1)$, $(m,g)$ sont racines, soit

$x^{2}-Ax+B=0,$

on a

$A=(m,1)+(m,g)=-1$,——$B=(m,1)\times (m,g)\,;$

or (n^o 345),

$(m,1)\times (m,g)=(m,N+1)+(m,N'+1)+(m,N''+1)+\,{\text{etc.}}\,=W,$

et peut parconséquent être mis sous la forme

$\alpha (m,0)+\beta (m,1)+\gamma (m,g).$

Pour déterminer les coefficiens $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, observons : 1^o . qu’on a $\alpha +\beta +\gamma =0,$ puisque le nombre des périodes de $W$ est $m$ ; 2^o . que $\beta =\gamma$ (n^o 350), puisque $(m,1)\times (m,g)$ est une fonction invariable des sommes $(m,1)$ et $(m,g)$ qui composent la période plus grande $(n-1,1)$ ; 3^o . que tous les nombres $N+1$, $N'+1$, $N''+1$, etc. étant compris entre les limites $2$ et $n+1$, il est clair que nulle période de $W$ ne coïncidera avec $(n,0)$, ou qu’il n’y en aura qu’une, par exemple $(m,n)$ ; on aura donc $\alpha =1$ ou $=0$, suivant que $n-1$ sera ou ne sera pas parmi les nombres $N$, $N'$, etc. ; il suit de là que dans le premier cas on aura $\alpha =1$,

$\beta =\gamma$